八年级数学下册第一章三角形的证明1-3线段的垂直平分线（第2课时）课件（北师大版）

3 线段的垂直平分线 第2课时 【知识再现】 线段垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离_________.  线段垂直平分线判定定理:到一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的_______________上.   相等   垂直平分线  【新知预习】 阅读教材P24-25,解决以下问题 1.三角形三条边的垂直平分线的性质 探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置, 并测量各个交点到三角形顶点的距离. 结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在_______ _______;直角三角形三边的垂直平分线交点在_______ _____;钝角三角形三边的垂直平分线交点在_________ _____.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的 距离_________.   三角 形内   斜边 上   三角形 外   相等  你发现的规律:三角形三条边的垂直平分线交于_____ _____,且这一点到三角形三个顶点的距离_________.   一 点   相等  2.利用三角形三条边的垂直平分线的性质尺规作图 已知底边及底边上的高,能用尺规作出等腰三角形;能 用尺规过一点作已知直线的垂线. 【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的 外部,那么这个三角形是 (   ) A.直角三角形   B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 C 2.如图,已知点O是等腰三角形三边垂直平分线的交 点,AB=AC,且∠A=50°,则∠BOC的度数是 __________.   100°  知识点一 三角形三条边的垂直平分线的性质 【典例1】已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分 线交于点P.则下列结论一定成立的个数为(   )B ①PA=PB=PC. ②点P在AC的垂直平分线上. ③∠BPC=90°+ ∠BAC. ④∠BAP=∠CAP. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【学霸提醒】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂 直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题 的关键. 【典例2】如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,若 ∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数. 【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点, ∴PA=PC=PB, ……………………三角形三条边的垂直平分线的性质 ∴∠PAC=∠PCA=20°, …………等边对等角 ∠PBC=∠PCB=30°, …………等边对等角 ∵∠PAB=∠PBA, ∴∠PAB= (180°-2×20°-2×30°) ……………………三角形内角和等于180° =40°. 【学霸提醒】 利用线段垂直平分线的性质得到PA=PB=PC是解题的关 键.再由等腰三角形的性质证得∠PAC=∠PCA=20°, ∠PBC=∠PCB=30°,由∠PAB=∠PBA,根据三角形的内 角和即可推出结论. 【题组训练】 1.(2019·菏泽牡丹区期中)如图,有A,B,C三个居民小 区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市 到三个小区的距离相等,则超市应建在 (   )B A.AC,BC两边高线的交点处  B.AC,BC两边垂直平分线的交点处  C.AC,BC两边中线的交点处  D.∠A,∠B两内角平分线的交点处 ★2.如图,在△ABC中,点D是边AB,BC的垂直平分线交点, 连接AD并延长交BC于点E,若∠AEC=3∠BAE=3α,则 ∠CAE=_____________(用含α的式子表示).  90°-2α  ★★3.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于 点D,垂足分别为E,F.已知∠BAC=100°,∠EDF等于 80°,∠ACB=30°,求∠ABD的度数. 世纪金榜导学号 解:连接AD, ∵边AB,AC的垂直平分线相交于点D, ∴BD=AD,AD=CD, ∴∠DBA=∠DAB, ∠DCA=∠DAC,BD=CD, ∴∠DBC=∠DCB, 设∠DBC=∠DCB=x°, ∵∠BAC=100°,∠ACB=30°, ∴∠ABC=50°,∴x+50+30+x=100, 解得:x=10,即∠DBC=10°, ∴∠ABD=10°+50°=60°. 知识点二 利用三角形三条边的垂直平分线的性质尺规 作图 【典例3】如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大 于 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN, 交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC 的周长为 (   )C A.7 B.14 C.17 D.20 【学霸提醒】 此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注 意数形结合思想的应用. 【题组训练】 1.如图,已知线段a,h,作等腰△ABC,使AB=AC,且BC=a, BC边上的高AD=h.张红的作法是:①作线段BC=a;②作线 段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;③在直线MN上 截取线段h;④连接AB,AC,则△ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是 (   ) A.①  B.②  C.③  D.④ C ★2.如图所示,A,B是直线l外两点,在l上求作一点P,使 PA+PB最小,其作法是 (   ) A.连接BA并延长与l的交点为P B.连接AB,并作线段AB的垂直平分线与l的交点为P D C.过点B作l的垂线,垂线与l的交点为P D.过点A作l的垂线段AO,O是垂足,延长AO到A′,使 A′O=AO,再连接A′B,则A′B与l的交点为P ★3.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别 以B,C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交 于两点M,N; ②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则 ∠ACB的度数为 世纪金榜导学号(   ) A.90°  B.95°  C.100°  D.105° D ★★4.如图所示,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个 村庄,A村到公路l的距离AC=1 km,B村到公路l的距离 BD=2 km,B村在A村的南偏东45°方向上. 世纪金榜导 学号 (1)求A,B两村之间的距离. (2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车 站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出 点P的位置.(保留作图痕迹,并简要写明作法) 解:(1)根据题意可得∠A=∠B=45°, ∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形. ∴AO= ,BO=2 . ∴A,B两村的距离为AB=AO+BO = +2 =3 (km). (2)作法:①分别以点A,B为圆心,以大于 AB的长为半 径作弧,两弧交于两点M,N,作直线MN; ②直线MN交l于点P,点P即为所求. 【火眼金睛】 在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并 且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC. 正解:∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4, 即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, ∴A与E都在线段BC的垂直平分线上, 则AD垂直平分BC. 【一题多变】 如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边 的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F. (1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长. (2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数. 解:(1)∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC, ∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC, AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20 cm. (2)∵MD⊥AC,NE⊥BC, ∴∠ACB=180°-∠MFN=110°, ∴∠A+∠B=70°, ∵MA=MC,NB=NC, ∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B, ∴∠MCN=40°. 【母题变式】 【变式一】(变换条件) 如图,在△ABC中,AB边的垂直 平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1 与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6 cm, △OBC的周长为16 cm. (1)求线段BC的长. (2)连接OA,求线段OA的长. (3)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数. 解:(1)∵l1是AB边的垂直平分线, ∴DA=DB, ∵l2是AC边的垂直平分线, ∴EA=EC, BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6 cm. (2)(3)略 【变式二】(变换问法)如图,在△ABC中,边AB的垂直平 分线交BC,AB于点E,M,边AC的垂直平分线交BC,AC于点 F,N,△AEF的周长是10. 若∠B+∠C=45°,EF= ,求△AEF的面积. 略