八年级数学下册第一章三角形的证明1-4角平分线（第2课时）课件（北师大版）

4 角平分线 第2课时 【知识再现】 1.角平分线的性质定理:角的平分线上的点到_______ ___________相等.  2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边 _____________的点,在这个角的_____________上.   角两 边的距离   距离相等   角平分线  【新知预习】 阅读教材P30-31,回答以下问题. 探究1:作三角形的三个内角的角平分线,你发现了什么? 发现:(1)三角形的三个内角的角平分线交于_______; (2)这个交点到三角形_________的距离相等.  一点   三边  探究2:尝试证明上述结论 已知:如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:P点在∠BAC的平分线上. 证明:过P点作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,其中点D,E,F是 垂足. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(_______________________ _____________________).  同理:__________.∴PD=PF.   角平分线上的点到这个 角的两边的距离相等   PE=PF  ∴点P在∠BAC的平分线上(_______________________ ______________________________________).  另外易证:PD=PE=PF.  在一个角的内部,且到角 两边距离相等的点,在这个角的平分线上  归纳:三角形角平分线性质定理:三角形的三条角平分 线相交于_________,并且这一点到_______________  相等.   一点   三条边的距离 探究3:比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线 的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三 角 形 锐角三角形 交于三角形_______一点  交于三角形 _______一点 钝角三角形 交于三角形_______一点  直角三角形 交于斜边的_________  交点性质 到三角形_____________的 距离相等  到三角形_____ ____的距离相等  内   外   中点   内   三个顶点   三 边  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A, ∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是 (   )D A.点O一定在△ABC的内部 B.∠C的平分线一定经过点O C.点O到△ABC三边的距离一定相等  D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等 2.在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪 三边的距离相等,凉亭的位置应选在 (   ) A.三角形的三条中线的交点处 B.三角形的三边的垂直平分线的交点处 C.三角形的三条角平分线的交点处   D.三角形的三条高所在直线的交点处 C 3.如图,点P是∠AOB的平分线上一点,过点P作PC∥OA交 OB于点C,若OC=2,P到OA的距离PD等于 ,则OP等于 _________.  2   知识点  三角形三个角的平分线的性质 (P30例2拓展) 【典例】如图,在△ABC中,∠ACB=90°, AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于 D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度. 【规范解答】连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F, ∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC, ∴OE=OD=OF, …………三角形角平分线的性质 设OE=OF=OD=R, 在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8, 由勾股定理得:AC=6, …………勾股定理 ∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO, ………………………………全量等于分量的和 ∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF, ……………………三角形的面积公式 ∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2, …………解方程 ∴OD的长为2. 【学霸提醒】 1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的 连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三 角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出 交点到三边的距离. 2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找 线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来 求解. 【题组训练】 1.如图,O是△ABC的角平分线的交点,△ABC的面积为2, 周长为4,则点O到BC的距离为 (   ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定 A ★2.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F, DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为40和28,则△EDF的 面积为 (   ) A.12 B.6 C.7 D.8 B ★★3.在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连 接AD.世纪金榜导学号 (1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD=     .  (2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求 S△ABD∶S△ACD的值(用含m,n的代数式表示). (3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE, 如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC=    . 解:(1)过点A作AE⊥BC于点E, ∵点D是BC边上的中点, ∴BD=DC, ∴S△ABD∶S△ACD 答案:1∶1 (2)(3)略 【火眼金睛】 如图,已知D,E分别是△ABC的BC,AC边上一点,AE=AB, DB=DE. 求证:AD是△ABC的角平分线. 正解:在△ADE与△ADB中, AE=AB,DE=DB,AD=AD, ∴△ADE≌△ADB(SSS), ∴∠EAD=∠BAD,∴AD是△ABC的角平分线. 【一题多变】 如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO ∶S△CAO等于 (   ) A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5 C 【母题变式】 【变式一】(变换条件、问法)已知,在△ABC中, ∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F是垂足,且AB=10,BC=8,则点O 到三边AB,AC和BC的距离分别是世纪金榜导学号 (   )A A.2,2,2 B.3,3,3 C.4,4,4 D.2,3,5 【变式二】(变换条件、问法)如图,已知△ABC的周长 是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且 OD=4,△ABC的面积是 (   ) A.25 B.84 C.42 D.21 C