九年级数学下册第三章圆3-4圆周角和圆心角的关系（第2课时）课件（北师大版）

4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 【知识再现】 圆周角定理：圆周角的度数等于 ___________________________的一半.  它所对弧上的圆心角度数  【新知预习】 阅读教材P81-82，解决以下问题： 1.直径与90°的圆周角的关系 (1)直径所对的圆周角是_________.  (2)90°的圆周角所对的弦是_________.   直角   直径  2.圆内接四边形的相关概念 如果一个多边形的_____________都在同一个圆上，这 个多边形叫做_________________，这个圆叫做这个多 边形的___________.如图中的四边形ABCD叫做☉O的  ______________，而☉O叫做四边形ABCD的___________.   所有顶点   圆内接多边形   外接圆  内接四边形   外接圆  3.圆内接四边形的性质 圆内接四边形对角_________，并且它的任意一个 外角都等于_______________.   互补   它的内对角  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.如图，AB是☉O的直径，若∠BAC=35°， 则∠ADC= (   ) A.35° B.55° C.70° D.110° B 2.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长 线上.若∠A=50°，则∠BCE=_________.  50°  3.如图，AB是☉O的直径，点C是☉O上的一点，若 BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______.  4  知识点一 圆周角定理的推论2 (P82“推论”拓展) 【典例1】如图，AB是☉O的直径，∠ACD=25°，求 ∠BAD的度数. 【尝试解答】∵∠ACD=25°， ∴∠ABD= 25° ，…………同圆中等弧对等角  ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB= 90° .  …………………………直径所对的圆周角为直角 在△ABD中，∠BAD= 180° -∠ABD-∠ADB=  180° -25°-90°=65°.  …………………………三角形内角和定理的应用 【学霸提醒】 圆周角定理的推论的应用 1.见到直径想直角： 即直径所对的圆周角是直角. 2.圆中90°的圆周角所对的弦是直径： 即在圆中90°的圆周角所对的弦是直径. 【题组训练】 1.(2019·丹江口市期末)如图，AB是☉O的直径， 点C，D在☉O上.若∠ABD=50°，则∠BCD的度数 为 (   )       A.30° B.35° C.40° D.45° C ★2.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上AB两侧的 点，若∠D=30°，则tan∠ABC的值为 (   )C ★3.(2019·聊城中考)如图，BC是半圆O的直径，D， E是 上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD， OE.如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为(   ) A.35° B.38° C.40° D.42° C ★★4.(2019·菏泽中考)如图，AB是☉O的直径，C，D 是☉O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相 交于点E，F，则下列结论不一定成立的是 世纪金榜导 学号(   ) A.OC∥BD B.AD⊥OC C.△CEF≌△BED D.AF=FD C 知识点二 圆内接四边形 (P82“想一想”补充) 【典例2】如图，四边形ABCD内接于☉O，AC与BD为对 角线，∠BCA=∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于 点E. 求证：EC=AC. 【规范解答】∵BC∥AE， ∴∠ACB=∠EAC， ……………………平行线性质 ∵∠ACB=∠BAD， ∴∠EAC=∠BAD，……………………等量代换 ∴∠EAD=∠CAB， ∵∠ADE+∠ADC=180°，………………平角定义 ∠ADC+∠ABC=180°，……………圆内接四边形性质 ∴∠ADE=∠ABC，……………………………等式性质 ∵∠EAD+∠ADE+∠E=180°， ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°………三角形内角和定理 ∴∠E=∠ACB=∠EAC，……………………等式性质 ∴CE=CA.………………………………等腰三角形判定 【学霸提醒】 圆内接四边形的角的“两种”关系 1.对角互补，若四边形ABCD为☉O的内接四边形，则 ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 2.四个角的和是360°，若四边形ABCD为☉O的内接四 边形，则∠A+∠B+∠C+∠D=360°. 【题组训练】 1.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A∶∠C=5∶7， 则∠C= (   )      A.210° B.150° C.105° D.75° C ★2.(2019·天水中考)如图，四边形ABCD是菱形， ☉O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE. 若∠D=80°，则∠EAC的度数为 (   ) A.20° B.25° C.30° D.35° C ★3.如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上 一点，若∠A=n°，则∠DCE=______°.  n  ★4.(2019·盐城中考)如图，点A，B，C，D， E在☉O上，且 所对圆心角为50°，则∠E+∠C= ________°.  155  ★★5.(2019·朝阳区期中)如图，四边形ABCD内接于 ☉O，∠ABC=135°，AC=4，求☉O的半径长. 解：∵四边形ABCD内接于☉O，∠ABC=135°， ∴∠D=180°-∠ABC=45°， ∴∠AOC=2∠D=90°， ∵OA=OC，且AC=4， ∴OA=OC= AC=2 ， 即☉O的半径长为2 . 【火眼金睛】如图，已知A，B两点的坐标分别为 (2 ，0)，(0，2)，P是△AOB外接圆上的任意一 点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为_______. 正解：∵OB=2，OA=2 ， ∴AB= =4， ∵∠AOP=45°， ∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P(a，a)， ∵∠AOB=90°，∴AB是直径， ∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，C点坐标为 ( ，1)，∵P点在圆上，∴P点到圆心的距离为 圆的半径2，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于 点E，交CF于点F，∴∠CFP=90°， ∴PF=a-1，CF=a- ，PC=2， ∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：(a- )2+ (a-1)2=22，舍去不合适的根，可得：a=1+ ， 则P点坐标为( +1， +1). ∵P与P′关于圆心( ，1)对称， ∴P′( -1，1- ). 答案：( +1， +1)或( -1，1- ) 【一题多变】 (2019·武昌区模拟)如图，BC是☉O的直径， AB是☉O的弦，半径OF∥AC交AB于点E. 求证： ， 证明：∵BC是直径，∴∠A=90°， ∵OF∥AC，∴∠OEB=∠A=90°， ∴OF⊥AB，∴ . 【母题变式】 【变式一】如图，在☉O中，AB是☉O的直径，OD⊥AC 于点D.延长DO交☉O于点E，连接EC，EB.若AC=6， OD= ，求☉O的直径. 解：∵OD⊥AC，AC=6，∴AD=3， ∵OD= ，∴OA=4，∴☉O的直径为8. 【变式二】如图，在☉O中，AB是☉O的直径，OD⊥AC 于点D.延长DO交☉O于点E，连接EC，EB. 证明：S△ABC=2S△BEC. 证明：作EF垂直于CB的延长线于点F，∵AB为直径， ∴∠ACB=∠CDE=∠CFE=90°， ∴四边形CDEF为矩形，∴EF=CD= AC， ∴S△ABC= BC·AC= BC·2EF=2S△BEC.