九年级数学下册第三章圆3-8圆内接正多边形课件（北师大版）

8 圆内接正多边形  【知识再现】 正多边形：_______________，_______________的多边 形叫正多边形.  各边都相等 内角都相等  【新知预习】 阅读教材P97，解决以下问题： 正多边形与圆的关系： 【探究一】等分圆周，依次连接各个分点，得到圆内 接多边形是正多边形吗？为什么？ 这个圆叫做这个正多边形的___________.这个多边形叫 做圆内接正多边形.  外接圆 【探究二】应用等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧_________， 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.  相等 2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角 是_________，所以在圆内依次截取等于_________的 弦，可以把圆六等分，依次连接各个分点，得到_____ _______，间隔连接，得到_____________；  (2)作两条互相_________的直径，可以将圆四等分， 依次连接各个分点，可以得到正方形.  60° 半径 正六 边形 正三角形 垂直 归纳： 1.圆内接正多边形的相关概念 (1)圆内接正多边形：顶点都在_____________的正多 边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的 ___________.  同一圆上 外接圆 (2)中心：正多边形的_________________叫做正多边 形的中心.  (3)半径：正多边形的_________________叫做正多边形 的半径.  外接圆的圆心 外接圆的半径 (4)边心距：中心到正多边形的一边的_________叫做正 多边形的边心距.  (5)中心角：正多边形的每一边所对的___________的圆 心角叫做正多边形的中心角.  距离 外接圆 2.圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为_______.  (2)正n边形的每一个内角= .  (3)正n边形的每一个外角= . 【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.下列多边形中，是正多边形的是 (   ) A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正六边形 D 2.圆的两条弦AB，AC分别是它的内接正三角形与内接正 五边形的边长，则∠BAC等于 (   ) A.24°或84° B.54° C.32°或72° D.36° A 3.正多边形的中心角为72°的是正_______边形；正多 边形的中心角等于其内角的是正_______边形.  4.已知正六边形的周长为30，那么正六边形的半径为 ______.  五 四 5 知识点一 圆内接正多边形的概念及计算(P97例拓展) 【典例1】(2019·丰城市期中)如图， 已知正三角形ABC内接于☉O，AD是 ☉O的内接正十二边形的一条边 长，连接CD，若CD=6 cm，求☉O的半径. 【规范解答】连接OA，OD，OC，如图所示： ∵等边△ABC内接于☉O，AD为内接正十二边形的一边， ∴∠AOC= ×360°=120°， ∠AOD= ×360°=30°， ∴∠COD=∠AOC-∠AOD=90°， ∵OC=OD，∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC=OD= CD= ×6 =6(cm)， 即☉O的半径为6 cm. 【题组训练】 1.(2019·扬州一模)☉O是一个正n边形的外接圆，若 ☉O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为 (   ) A.3 B.4 C.6 D.8 C ★2.(2019·无锡锡山区期中)若正方形的外接圆半径 为2，则其内切圆半径为____.   ★★3.(2019·徐州鼓楼区模拟)正六边形的周长为12， 则它的外接圆的内接正三角形的周长为 (   ) A.2 B.3 C.6 D.6 C ★★4.已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6 cm， 求这个正六边形的外接圆半径R，边心距r，面积S. 解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G， ∵∠AOB=60°，OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=6，即R=6， ∵OA=OB=6，OG⊥AB， ∴AG= AB= ×6=3(cm)， ∴在Rt△AOG中，r=OG= cm， ∴S= ×6×3 ×6=54 (cm2). 【我要做学霸】 正多边形的有关计算的“三个步骤” 1.分解：把正n边形分成_______个全等的直角三角形. 2.转化：把正n边形的各个元素放到一个_________三角 形中  3.计算：利用_______________的性质解答.  2n 直角 直角三角形 知识点二 正多边形的作法及应用(P98“做一做”拓展 ) 【典例2】如图，已知☉O，用尺规作☉O的内接正四边 形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把 作图痕迹用黑色签字笔描黑) 【思路点拨】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂 线交☉O于点B，D，连接AB，AD，BC，CD就得圆内接正 四边形ABCD. 【自主解答】 如图所示，四边形ABCD即为所求： 【学霸提醒】 作正多边形的方法 1.用量角器度量等分圆周作正多边形. 2.用尺规等分圆周作正多边形. 【题组训练】 1.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示 的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的 个数为 (   ) A.10 B.9 C.8 D.7 D ★2.(易错警示题)尺规作图特有的魅力曾 使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿 破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等 分.例如可将圆6等分，如图只需在☉O上任取点A，从点 A开始，以☉O的半径为半径，在☉O上依次截取点B，C， D，E，F.从而点A，B，C，D，E，F把☉O六等分.下列 可以只用圆规等分的是 (   ) ①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分 A.② B.①② C.①②③ D.①②③④ C ★3.如图所示，菱形花坛ABCD的边长为6 m，∠B=60°， 其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分 的图形的周长(粗线部分)为 (   ) A.12 m B.20 m C.22 m D.24 m B ★4.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算 术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐 步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用 圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=   .(结果保留根号) ★★5.在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学 设计了一个画圆内接正三角形的方法：世纪金榜导学 号 (1)如图，作直径AD. (2)作半径OD的垂直平分线， 交☉O于B，C两点. (3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形. 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你 按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出 △ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明 理由. 解：两位同学的作法正确.连接BO，CO， ∵BC垂直平分OD， ∴直角△OEB中，cos∠BOE= ， ∴∠BOE=60°.由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，由于 AD为直径， ∴∠AOB=∠AOC=120°， ∴AB=BC=CA， 即△ABC为等边三角形.  【火眼金睛】 线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周 角的度数是_______. 正解：如图，圆内接正十边形的边AB所对的圆心角 ∠1=36°， 当圆周角的顶点在优弧 上时，AB所对的圆周角为 18°. 当圆周角的顶点在劣弧 上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°， ∴综上所述答案为：18°或162°. 答案：18°或162° 【一题多变】 已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六 边形的边心距是 (   ) A.2 B.1 C. D. B 【一题多变】 已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六 边形的边心距是 (   ) A.2 B.1 C. D. 【母题变式】 【变式一】(变换条件和问法)一个正四边形的外接圆 半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是 (   )B 【变式二】(变换条件和问法)等边三角形的内切圆半 径，外接圆半径和高的比是 (   ) A.1∶2∶ B.2∶3∶4 C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3 D