人教版高中数学必修24.2.3直线与圆的方程的应用课件PPT

4.2.3 直线与圆的方程的应用 X 例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度 AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个 支 柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01） y x 思考:(用坐标法) 1.圆心和半径能直接求出吗？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱A2P2的长度？ 解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）, 圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 . 把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得，b= -10.5 r2=14.52 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m. 练习 1、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有 一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否 从桥下通过? 5 OM N P E 例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆 心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. x y O C A B D (a,0) (0,b) (c,0) (0,d) O M N 分析：将自然语言转化为图形语言，建立适当的直角坐标系证明问题。 由已知，可选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，关键在 求圆心坐标。 解：如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB 所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系。设 过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂线，垂 足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的 中点，由线段的中点坐标公式得： 所以，O E M N xQ A B C D 又 同理，可证其它所以 即：圆心到一边的距 离等于这条边所对边 长的一半 反思： 用坐标法解决问题的步骤——“三步曲” 1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程 表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题 2、通过代数运算，解决代数问题（有目的地） 3、把代数运算结果“翻译”成几何结论 几何 代数 几何 例3、在气象台A正西方向300千米处有一台风中心， 它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风 中心250千米以内的地方都要受其影响。问：从现在 起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影 响？持续多长时间？ 例4：圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两 点，若OP⊥OQ(O为原点),求m的值 分析：OP⊥OQ x1x2+y1y2=0; 联立方程用韦达定理得m=3 P y Q O x x+2y-3=0 解：联立得5y2-20y+12+m=0 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得： y1+y2=4,y1y2=(m+12)/5 而x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=(4m-27)/5 由OP⊥OQ x1x2+y1y2=0 m=3 小结： 用坐标法解决问题的步骤——“三步曲” 1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题 2、通过代数运算，解决代数问题（有目的地） 3、把代数运算结果“翻译”成几何结论 几何 代数 几何 2.过原点O作圆 的弦OA.(1)求弦OA中 点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程. (1)x2+y2-2x=0 (2)x2+y2-32x=0 练习 1.求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得的弦长. 3、点M在圆心为C1的方程：x2+y2+6x-2y+1=0， 点N在圆心为C2的方程：x2+y2+2x+4y+1=0， 求|MN|的最大值. 4.等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且 AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP o y x(6,0)(2,0) (0,0) A B D C E P 5.自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反 射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切，求反射光线所在直线的方程 B(-3，-3) A(-3，3) • C(2, 2) • • l : 4x+3y+25=0或3x+4y+21=0 P y Q O x x+2y-3=0 O’ M 解二:利用|O’P|2=|O’M|2+|MP|2=|O’M|2+|OM|2 得: m=3 1.已知圆M的方程是x2+(y-2)2=1，点Q是x轴上的动点， QA，QB分别切圆M于A、B，求弦AB中点P的轨迹方程 3.有一台风中心位于城市O的东偏南θ( )的方向 300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45。方向 移动。台风袭击的范围为圆形区域，当前半径为60km， 并以10km/h的速度不断增大。问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭 2.自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线，交圆得弦BC，求弦BC的 中点P的轨迹方程。 4. 已知实数x,y满足x2+y2=3(y≥0)， ,求证： (1) (2) 5.已知圆C1:x2+y2=2x+2y-8=0与C2:x2+y2-2x+10y-24=0 相交于A、B两点，(1)求圆心在直线y=-x上，且经过A，B 两点的圆的方程；(2)求经过A，B两点且面积最小的圆 的方程 6.如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作以圆与圆O 的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，求证：EF 平分CD 7.过两圆x2+y2-1=0和x2-4x+y2=0的交点且与直线x- y-6=0 相切的直线方程 8.已知RtΔABC中，∠C=90。，AC＝8，BC＝6，P是ΔABC 内切圆上的动点，试求点P到ΔABC三个定点距离的平方 和的最大值和最小值