2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 (2)

共两课时新课导入 同一平面内的直线有哪些位置关系？ a bo a b 相交相交 平行平行 回顾旧知a bo 如何判断两直线相交？ 两直线有公共交点。 如何判断两直线平行？ 两直线在同一平面，且无公共交点。 a b立交桥        黑板两侧所在的直线与课桌边沿所 在直线是什么位置关系？ 既非平行 又非相交定义1:不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。 注：概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线 ”． 定义2:不相交也不平行两条直线叫做 异面直线。 注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行. 异面直线:空间两直线的位置关系： (1)从公共点的数目来看，可分为： ①有且只有一个公共点——两直线相交 ②没有公共点 两直线平行 两直线为异面直线(2)从平面的性质来讲，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线异面直线的画法: A b a b a b aA1 B1 C1D1 C B D A 练习：如图：正方体的棱所在的直线中， 与直线A1B异面的有哪些？ 答案： D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1       下图是一个正方体的展开图，如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段 所在的直线是异面直线的有 对。 D B AC E F H G 3 直线EF和直线HG 直线AB和直线HG 直线AB和直线CD 探探 究究 课本P45 问题：在同一平面内，平行于同一条直 线的两直线平行，在空间中此结论仍成 立吗？ 平行吗? 中,观察：如图2.1.2-5,长方体 与那么DD'∥ AA' BB'∥ AA'公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行。 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间 这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 a∥b c∥b a∥c 符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若例题示范 例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 分析： 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH＝FG E，F，G，H分别是各边中点 连结BD,只需证： EH ∥BD且EH ＝ BD FG ∥BD且FG ＝ BD A B D E F G H C例题示范 例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 A B D E F G H C ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 证明： 连结BD变式一： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那 么四边形EFGH是什么图形? E H F G A B C D分析：        在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。 菱形变式二： 空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点 ,F,G分别是CB,CD上的点,且 ， 求证:四边形ABCD为梯形. A B C D E H F G 分析：需要证明四边形ABCD有 一组对边平行，但不相等。同一平面内：等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补。         在平面内两直线相交成四个角，不大于90° 的角成为夹角。 a b         夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜 程度，异面直线通过异面直线所成的角来刻画。 夹角O 异面直线所成的角 为简便，O点常取 在某一直线上异面直线所成角的定义： 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线 a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a和b所成的角。 平 移 法 异面直线a和b所成的角的范围： 异面直线所成的角 如果两条异面直线所成的角为直角， 就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。 强调:1)范围 2)与0的位置无关 ； 3)为了方便点O选取应有利于解 决问题，可取特殊点(如a 或 b上)； 4)找两条异面直线所成的角， 要作平行移动(平行线)，把两条异面 直线所成的角，转化为两条相交直线 所成的角. （1）在长方体 ABCD-A'B'C'D'中，有没有两条 棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ 探探 究究 有，如AB和CC‘，AB和DD’。 课本P47 垂直 （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线 垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？ 垂直分为两种： 相交直线的垂直 异面直线的垂直（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 如图，若c⊥α，则c垂直于α内所有直线， 而α内任意两条直线的关系可能是平行，也可能 是相交。 不一定例题示范 例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ 解：（1）由异面直线的判 定方法可知，与直线 成异面直线的有直线，例题示范 例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ 解：（2）由 可知， 等于异面直线      与 的夹角, 所以异面直线 与 的夹 角为450 。 (3) 直线 与直线      都垂直.课时小结 • 一起回顾所讲内容；异面直线、异面直线 的画法 • 直线的分类；从公共点得个数、从平面的 情况 • 公理4 • 平行公理 • 异面直线所成的角 • 等角定理１、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 　　那么它与另一条之间的位置关系是（　） Ａ、平行　　　Ｂ、相交 Ｃ、异面　　　Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面 ２、两条异面直线指的是（　） Ａ、没有公共点的两条直线 Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线 练习： D D3、下列命题中，其中正确的是 （１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行 （２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线 互相平行 （３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 互相平行 （４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线 互相平行 (3)4、三个平面两两相交，所得的三条交线（　） Ａ、交于一点　　　Ｂ、互相平行 Ｃ、有两条平行　　Ｄ、或交于一点或互相平行 D练习反馈： 1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（  ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知 直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只 有两条.    （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 . （   ）     √ × √ √ × ×练习反馈： 2．选择题  （1）“a，b是异面直线”是指  ① a∩b=Φ,且a不平行于b；② a Ì平面a， bÌ平面b且a∩b=Φ ③ a Ì平面a，b 平面 a ④ 不存在平面a，能使a Ìa且b Ìa成立 上述结论中，正确的是 （   ） （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④ （2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成 的异面直线有 （   ）  （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对 C C（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（  ）  （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线  （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则 它和另一条的位置关系是(  ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面 3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？    答：不一定，还可能异面． D D4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？ 答：三种：相交，平行，异面．5．选择题  （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关 系是 （  ）  （A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能   （2）异面直线a,b满足a Ìa,b Ìb,a∩b=l, 则l与a,b的位置关系一定是（   ） (A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行. D B（3）两异面直线所成的角的范围是 （ ） （A）（0°,90°） （B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°] 6．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打 “×”  （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条 直线平行           （   ）  （2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们 所成的角不变       （  ）  （3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方 形                  （    ） C × √ ×