共两课时新课导入
同一平面内的直线有哪些位置关系?
a
bo a
b
相交相交 平行平行
回顾旧知a
bo
如何判断两直线相交?
两直线有公共交点。
如何判断两直线平行?
两直线在同一平面,且无公共交点。
a
b立交桥 黑板两侧所在的直线与课桌边沿所
在直线是什么位置关系?
既非平行
又非相交定义1:不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线。
注:概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线
”. 定义2:不相交也不平行两条直线叫做
异面直线。
注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定
是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.
异面直线:空间两直线的位置关系:
(1)从公共点的数目来看,可分为:
①有且只有一个公共点——两直线相交
②没有公共点
两直线平行
两直线为异面直线(2)从平面的性质来讲,可分为:
两直线相交
①在同一平面内
两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线异面直线的画法:
A
b
a
b
a
b
aA1 B1
C1D1
C
B
D
A
练习:如图:正方体的棱所在的直线中,
与直线A1B异面的有哪些?
答案:
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1 下图是一个正方体的展开图,如果将它还原
为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段
所在的直线是异面直线的有 对。
D B
AC
E
F
H
G
3
直线EF和直线HG 直线AB和直线HG
直线AB和直线CD
探探
究究 课本P45 问题:在同一平面内,平行于同一条直
线的两直线平行,在空间中此结论仍成
立吗? 平行吗?
中,观察:如图2.1.2-5,长方体
与那么DD'∥ AA'
BB'∥ AA'公理4:平行于同一条直线的两条直线互相
平行。
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间
这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
a∥b
c∥b
a∥c
符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分
别是AB,BC,CD,DA的中点。
求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析: 欲证EFGH是一个平行四边形
只需证EH∥FG且EH=FG
E,F,G,H分别是各边中点
连结BD,只需证:
EH ∥BD且EH = BD
FG ∥BD且FG = BD
A
B
D
E
F
G
H
C例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分
别是AB,BC,CD,DA的中点。
求证:四边形EFGH是平行四边形。
A
B
D
E
F
G
H
C
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD
同理,FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
证明: 连结BD变式一:
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那
么四边形EFGH是什么图形?
E H
F
G
A
B
C
D分析:
在例题2的基础上
我们只需要证明平行四
边形的两条邻边相等。
菱形变式二:
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点
,F,G分别是CB,CD上的点,且 ,
求证:四边形ABCD为梯形. A
B
C
D
E H
F
G
分析:需要证明四边形ABCD有
一组对边平行,但不相等。同一平面内:等角定理
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那
么这两个角相等或互补。 在平面内两直线相交成四个角,不大于90°
的角成为夹角。
a
b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜
程度,异面直线通过异面直线所成的角来刻画。
夹角O
异面直线所成的角
为简便,O点常取
在某一直线上异面直线所成角的定义:
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线
a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面
直线a和b所成的角。
平
移
法
异面直线a和b所成的角的范围: 异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角,
就说两条直线互相垂直,记作a⊥b。
强调:1)范围
2)与0的位置无关 ;
3)为了方便点O选取应有利于解
决问题,可取特殊点(如a 或 b上);
4)找两条异面直线所成的角,
要作平行移动(平行线),把两条异面
直线所成的角,转化为两条相交直线
所成的角. (1)在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,有没有两条
棱所在的直线是相互垂直的异面直线?
探探
究究
有,如AB和CC‘,AB和DD’。
课本P47 垂直
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线
垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直?
垂直分为两种:
相交直线的垂直
异面直线的垂直(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
如图,若c⊥α,则c垂直于α内所有直线,
而α内任意两条直线的关系可能是平行,也可能
是相交。
不一定例题示范
例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。
(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?
(2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少?
(3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直?
解:(1)由异面直线的判
定方法可知,与直线
成异面直线的有直线,例题示范
例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。
(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?
(2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少?
(3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直?
解:(2)由 可知,
等于异面直线 与 的夹角,
所以异面直线 与 的夹
角为450 。
(3) 直线
与直线 都垂直.课时小结
• 一起回顾所讲内容;异面直线、异面直线
的画法
• 直线的分类;从公共点得个数、从平面的
情况
• 公理4
• 平行公理
• 异面直线所成的角
• 等角定理1、一条直线与两条异面直线中的一条相交,
那么它与另一条之间的位置关系是( )
A、平行 B、相交
C、异面 D、可能平行、可能相交、可能异面
2、两条异面直线指的是( )
A、没有公共点的两条直线
B、分别位于两个不同平面的两条直线
C、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
D、不同在任何一个平面内的两条直线
练习:
D
D3、下列命题中,其中正确的是
(1)若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行
(2)若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线
互相平行
(3)若两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线
互相平行
(4)若两条直线都和第三条直线异面,那么这两条直线
互相平行
(3)4、三个平面两两相交,所得的三条交线( )
A、交于一点 B、互相平行
C、有两条平行 D、或交于一点或互相平行
D练习反馈:
1. 判断:
(1)平行于同一直线的两条直线平行.( )
(2)垂直于同一直线的两条直线平行.( )
(3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知
直线平行 . ( )
(4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只
有两条. ( )
(5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平
行,那么这两个角相等( )
(6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平
行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
. ( )
√
×
√
√
×
×练习反馈:
2.选择题
(1)“a,b是异面直线”是指
① a∩b=Φ,且a不平行于b;② a Ì平面a,
bÌ平面b且a∩b=Φ ③ a Ì平面a,b 平面
a ④ 不存在平面a,能使a Ìa且b Ìa成立
上述结论中,正确的是 ( )
(A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④
(2)长方体的一条对角线与长方体的棱所组成
的异面直线有 ( )
(A)2对 (B)3对 (C)6对 (D)12对
C
C(3)两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,则
直线a,b的位置关系是( )
(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线
(C)可能是平行直线
(D)可能是异面直线,也可能是相交直线
(4)一条直线和两条异面直线中的一条平行,则
它和另一条的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)相交或异面
3.两条直线互相垂直,它们一定相交吗?
答:不一定,还可能异面.
D
D4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系?
答:三种:相交,平行,异面.5.选择题
(1)分别在两个平面内的两条直线间的位置关
系是 ( )
(A)异面 (B)平行
(C)相交 (D)以上都有可能
(2)异面直线a,b满足a Ìa,b Ìb,a∩b=l,
则l与a,b的位置关系一定是( )
(A)l至多与a,b中的一条相交;
(B)l至少与a,b中的一条相交;
(C)l与a,b都相交;
(D)l至少与a,b中的一条平行.
D
B(3)两异面直线所成的角的范围是 ( )
(A)(0°,90°) (B)[0°,90°)
(C)(0°,90°] (D)[0°,90°]
6.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打
“×”
(1)两条直线和第三条直线成等角,则这两条
直线平行 ( )
(2)平行移动两条异面直线中的任一条,它们
所成的角不变 ( )
(3)四边相等且四个角也相等的四边形是正方
形
(
)
C
×
√
×