2.5.2 向量在物理中的应用
三维目标
1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合
成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究
物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应
用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念
和向量运算的认识。
2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学
生的数学应用意识,提高应用数学的能力。体
会数学在现实生活中的重要作用。养成善于发
现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中
的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良
好习惯。
重点难点:
重点:
1.运用向量的有关知识对物理中力的作 用、
速度的分解进行相关分析和计算。
2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法。
难点:
将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的
问题。
课时安排:1课时
一、向量与物理学的联系
向量是从物理学中抽象出来的数学概念,在
物理中,通常被称为矢量!在物理学,工程技
术中有广泛的应用,因此,我们要明确掌握用
向量研究物理问题的相关知识!
1. 向量既是有大小又有方向的量,物理学中,
力、速度、加速度、位移等都是向量!
2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加
减法,运动的叠加也用到向量的合成!
3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积.
二、应用举例
例1:说明同一平面内,互成 的三个大
小相等的共点力的合力为零。
B
O120º
a
b c
D
C
A
证:如图,用a,b,c表示这3个共点
力,且a,b,c互成120°,模相等
按照向量的加法运算法则,有:
a +b +c = a +(b +c)=a +OD
又由三角形的知识知:三角形OBD为
等边三角形,故 a与OD共线且模相等
例2:在生活中,你是否有这样的经验:两个人
共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上
做引体向上运动,两臂夹角越小越省力!你能
从数学的角度解释这个现象吗?
分析:上述的问题跟如图所示的
是同个问题,抽象为数学模型如
下:
F2
θ
F1
F
G
用向量F1,F2,表示两个提力,它们
的合向量为F,物体的重力用向量G
来表示, F1,F2的夹角为θ,如右图
所示,只要分清F,G和θ三者的关系,
就得到了问题得数学解释!
θ
F1
F
G
F2
cos 2
θ
探究:
(1)θ为何值时, 最小,最小值是多少
?
F1
(2) 能等于 吗?为什么? F1 G
F1解:不妨设 = ,由向量的 平行四
边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识,
可以知道:
= (*)
通过上面的式子,有:当θ由0º到180º逐渐变
大时, 由0º到90º逐渐变大, 的值由大逐
渐变小,因此 :
由小逐渐变大,即F1 ,F2之间
的夹角越大越费力,夹角越小越省力!
F1
G
F2
cos 2
θ
2
θ cos 2
θ
2
F1
答:在(*)式中,当θ =0º时, 最大, 最小且等于cos 2
θ F1
G
2
答:在(*)中,当 = 即θ=120º时, = cos 2
θ 1
2 F1 G
F2
求:1)│F1│,│F2│随角 的变化而变化的情况;
2)当│F1│ 2│G│时,求 的取值范围。
例3:如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为
G物体,绳子与垂直方向的夹角为
绳子所受的拉力为F1 ,
G
F2
F1 O
问题延伸:
解:1)如图,由力的平衡及向量加法的平行四边形
法则知:-G = F1 + F2
O
F2
F1 -G
│F2│= │G│
解直角三角形得│F1│= │G│,
│F1│,│F2│皆逐渐增大;
2)令│F1│= │G│ 2│G│,
得
归纳:
(1)为了能用数学描述这个问题,我们要先
把这一物理问题转化成数学问题。如上题目,只
考虑绳子和物体的受力平衡,画出相关图形!
(2)由物理中的矢量问题化成数学中的向量
问题,用向量的有关法则解决问题!
(3)用数学的结果解决物理问题,回答相关
的物理现象。
例4:如图,一条河流的两岸平行,河的宽度d = 500m,一
艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h,水流
的速度 = 2km/h。
问:(1)行驶航程最短时,所用的时间是多少?
(2)行驶时间最短时,所用的时间是多少?
v1
v2
分析:(1)因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所
以只有当小船的实际运动方向(即合运动方向)是垂直于河岸的
方向时,小船的航程最小。
(2)小船过河的问题有一个特点,就是小船在垂直于河
岸的方向上的位移是不变的,我们只要使得在垂直于河岸方向上
的速度最大,小船过河所用的时间就最短,河水的速度是沿河岸
方向的,这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系,所以使小船
垂直于河岸方向行驶(小船自身的速度,方向指向河对岸),小
船过河所用时间才最短。
500m
A
把物理问题转化为数学模型为:
解:(1) = =
所以
t = = 60
答:行驶的航程最短时,所用的时间是
3.1min。
v - v1
2
v2
2
96
d
v
0.5
96
~~ 3.1(min)
(2) t = = 60 = 3 (min)
答:行驶的时间最短时,所用的时间是3min
d
v1
0.5
10
(1)
A
B
v1
v2
v
(2
)
v2
v1
v
km/h
(1)如图所示,用两条成120º的等长的绳
子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N,
则每根绳子的拉力是
————。 120º10N
问题延伸:
(2)如图,今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P
处,从这里起,在下游 =80m处河流有一处瀑
布,若河水的流速方向由上游指向下游(与河
岸平行),水速大小为5m/s,为了使小船能安全
过河,船的划速不能小于多少?当划速最小时,
划速方向如何?
P
Q
瀑
布
θ
Q,
60m
P Q
瀑
布
θ
V船
V水
V合的方向
θP
Q从图上看,哪个速度(向量的模)最小?
分析:用向量来分别表示河流的水流速度、船速
和它们的合速度为 、 和 ,由题意,
船的实际速度为向量
其方向为临界方向 ,船只要朝着这个方向行
驶,它就不会掉下瀑布,如(右)图所示:
PQ
V船 V水V合= +
V船V水 V合
解:由题意知:
其方向为临界方向 ,设 和 夹角为
θ,则最小划速为:
sinθ = =
所以:最小的船速应为:
V船 V水V合 = +
PQ V水V合
v船 = v水 sinθ
v船 = 5 × sinθ =5 × =3(m/s)
提问:表示划船速度的向量怎样画?
1.一船从某河一岸驶向另一岸,船速为v1、
水速为v2,若船是垂直到达对岸的,则船
在河中实际航行速度的大小为( )
A.v1
2-v2
2 B.|v1|2+|v2|2
D
三、巩固练习:
2.人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则
逆风行驶的速度大小为( )
A.v1-v2 B.|v1|+|v2|
C.|v1|-|v2| D.|v1-v2|
C
3.三个力F1、F2、F3同时作用于O点且处于
平衡状态,已知F1与F3的夹角为120°,又|F1|
=|F2|=20N,则|F3|= . 20N
4.某人骑车以a km/h的速度向东行驶,感
到风是从正北方向吹来;而当速度为2a
km/h时,感到风是从东北方向吹来,试求实
际的风速和风向.
四、归纳小结
物理现象
向量问题
向量问题的解
抽象 概括
利用向量 知识解决
解
释
如何解决物理中与向量有关的问题:
(1)弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系(数学模
型);
(2)灵活运用数学模型研究有关物理问题;
(3)综合运用有关向量的知识,三角等和物理知识解
决实际问题;
(4)用所得的结果解释物理现象。
通过这节课的学习,我们应掌握什么内容?
作业:
1、上交:教材P113 习题2.5 A组 3、4;
B组 3、3.
2、课外: 资料P67-69
课后反思: