﹡2.5.3
切线长定理
【知识再现】
1.圆的切线_________过切点的半径.
2.经过半径的外端并且___________________的直线是
圆的切线.
垂直
垂直于这条半径
【新知预习】阅读教材P70～71,并完成下列问题:
1.动手画一画,过圆上一点能够画圆的几条切线呢?过
圆外一点呢?
总结:过圆上一点只能作圆的_________切线;过圆外一
点可以作圆的_________切线.
一条
两条
2.请找图形中存在哪些等量关系?
归纳总结:①切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这
点和_________之间的线段的长,叫作这点到圆的
___________,如图中的线段_________________就是点
P到☉O的切线长.②切线长定理:从圆外一点引圆的两
条切线,它们的切线长_________,这一点和圆心的连线
_________两条切线的夹角.
切点
切线长 PA、PB的长度
相等
平分
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,下列说法
不正确的是( )
A.PA=PB B.∠APO=20°
C.∠OBP=70° D.∠AOP=70°
C
2.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切
点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长
是( )
A.4 B.8 C.4 D.8
B
知识点一 利用切线长定理求线段的长
(P72练习1拓展)
【典例1】(2019·唐山丰南区月考)如
图,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G.
且AB∥CD.BO=6 cm,CO=8 cm.
(1)求证:BO⊥CO.
(2)求BE和CG的长.
【自主解答】(1)略
(2)连接OF,则OF⊥BC,
∴Rt△BOF∽Rt△BCO,
∴
∵在Rt△BOF中,
BO=6 cm,CO=8 cm,
∴BC= =10(cm),
∴ ,∴BF=3.6(cm).
∵AB,BC,CD分别与☉O相切,
∴BE=BF=3.6 cm,CG=CF.
∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm),
∴CG=CF=6.4 cm.
【学霸提醒】
利用切线长求线段长的一般途径
切线长定理经常用来证明线段相等,通过连接圆心与切
点构造直角三角形来求解.
【题组训练】
1.(2019·常州金坛区期中)如图,AB、
AC、BD是☉O的切线,切点分别是P、C、
D.若AB=5,AC=3,则BD的长是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
C
★2.(2019·沧州黄骅质检)如图,在矩
形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与
☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切
线交BC于点M,切点为N,则DM的长为 .
知识点二 利用切线长确定角之间的关系
(P72练习第2题拓展)
【典例2】(2019·淮安区期中)已知:PA,PB,CD分别切
☉O于A,B,E三点,若∠P=50°, 求∠COD的度数.
【思路点拨】连接OE,根据切线的性质得出∠P+∠AOB
=180°,由切线长定理得出∠COD= ∠AOB,即可得出
结果.
【自主解答】连接OE,如图所示:
由切线的性质得,OA⊥PA,
OB⊥PB,OE⊥CD,
∴∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°,
∴∠AOB+∠P=180°,
∴∠AOB=180°-∠P=130°,
由切线长定理得:∠AOC=∠EOC,
∠EOD=∠BOD,
∴∠COD= ∠AOB= ×130°=65°.
【学霸提醒】
利用切线长求角的度数常见方法
1.利用圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条
切线的夹角.
2.连接圆心与切点构建直角三角形,在直角三角形中求
角的度数.
3.利用过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,去构造
等腰三角形,利用等边对等角和三角形内角和求角的度
数.
【题组训练】
1.如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,
若点D是AB的中点,则∠DOE=_______°. 60
★2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直
径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数.
(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.
略
【火眼金睛】
已知:PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,点C是 上的一
个动点,若∠P=40°,求∠ACB的度数.
正解:(1)当点C在优弧 上时,同原解中过程
,∠ACB=70°.
(2)当点C在劣弧 上时,
∠ACB=180°-70°=110°.
故∠ACB等于70°或110°.
【一题多变】
如图,菱形ABCD的边AB=20,面积为
320,∠BAD
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