2020版九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.4三角形的内切圆课件（湘教版）

2.5.4  三角形的内切圆 【知识再现】 1.经过三角形三个_________的圆叫作这个三角形的外 接圆.三角形外接圆的圆心叫作这个三角形的_________, 三角形的外心就是三角形三条边的_______________的 交点.   顶点   外心   垂直平分线  2.圆外一点所画的圆的两条切线的_____________.  长度相等  【新知预习】阅读教材P72-73,归纳结论: 1.三角形内切圆的相关概念:与三角形_________都 _________的圆,叫作三角形的内切圆,圆心叫作三角 形的_________,三角形叫作圆的_________三角形.   三边   相切   内心   外切  2.三角形的内心的位置:三角形三条_____________的 交点.  3.三角形的内心的性质:到三角形三边的距离都_____.   角平分线  相等 4.三角形内切圆的作法:先作三角形的两个内角的 ___________线,并交于点P,过P向任意一边作_________ PM,以点P为圆心,PM为半径作圆,所得的圆就是三角 形的内切圆.   角平分   垂线段 【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.正三角形的内切圆半径为1,那么它的边长为 (   ) A.2    B.2 C. D.3 B 2.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接 OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是_________.  70°  知识点一 三角形的内切圆(P74,练习3拓展) 【典例1】 (2019·南京高淳区期中)如图,☉I是 △ABC的内切圆,切点分别是D,E,F. (1)若∠B=50°,∠C=70°,则∠DFE的度数为     .  (2)若∠DFE=50°,求∠A的度数. 【思路点拨】(1)直接利用切线的性质结合三角形内角 和定理以及圆周角定理得出答案. (2)利用圆周角定理得出∠DIE的度数,进而得出∠A的 度数. 【自主解答】(1)连接ID,IE, ∵∠B=50°,∠C=70°, ∴∠A=60°, ∵☉I是△ABC的内切圆, 切点分别是D,E,F, ∴∠IDA=∠IEA=90°, ∴∠DIE=180°-60°=120°, ∴∠DFE的度数为60°. (2)∵∠DFE=50°,∴∠DIE=100°, ∵AB,AC分别与☉I相切于点D,E, ∴∠ADI=∠AEI=90°,∴∠A=80°. 【学霸提醒】 直角三角形内切圆的半径的“两种求法” 已知直角三角形直角边为a,b,斜边为c,直角三角形内 切圆半径为r. (1)切线长定理:根据切线长定理推得,a-r+b-r=c,即 r= (2)面积法:根据三角形面积等于三角形的周长与三角 形内切圆半径乘积的一半,得 ab= (a+b+c)r,即 r= 【题组训练】 1.(2019·昆明官渡区期末)如图,☉O是 △ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°, ∠C=60°,则∠DOE=(   ) A.70°  B.110°  C.120°  D.130° B 2.(2019·娄底中考)如图,边长为2 的等边△ABC的 内切圆的半径为 (   ) A.1 B. C.2 D.2 A 知识点二 内心(P74例6拓展) 【典例2】(2019·南京玄武区期中)如图,☉O是△ABC的 内切圆,切点分别为D,E,F,∠ABC=60°,∠ACB=70°. (1)求∠BOC的度数. (2)求∠EDF的度数. 【思路点拨】(1)由题意可知BO,CO分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线,则∠OBC和∠OCB的度数可求出,进而可 求出∠BOC的度数. (2)连接OE,OF.由三角形内角和定理可求得∠A=50°, 由切线的性质可知:∠OFA=90°,∠OEA=90°,从而得到 ∠A+∠EOF=180°,故可求得∠EOF=130°,由圆周角定 理可求得∠EDF=65°. 【自主解答】(1)∵☉O是△ABC的内切圆, 切点分别为D,E,F, ∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线, ∴∠OBC= ∠ABC=30°, ∠OCB= ∠ACB=35°, ∴∠BOC=180°-30°-35°=115°. (2)略 【学霸提醒】 三角形的内切圆和内心 (1)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数 多个外切三角形. (2)三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,钝角三 角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的 内部,三角形的内心到三边的距离相等. 【题组训练】 1. (2019·河北一模)如图,点O是 △ABC的内心,M,N是AC上的点,且 CM=CB,AN=AB,若∠ABC=100°,则 ∠MON= (   ) A.60° B.70° C.80° D.100° C ★★2.(2019·川汇区期末)如图,点I是△ABC的内心 ,AI的延长线交BC于点D,与△ABC的外接圆相交于点E, 连接BE. (1)求证:BE=IE. (2)若AD=6,DE=2,求AI的长. 略 【火眼金睛】 如图,在△ABC中,∠A=45°,O是内心,则∠BOC=     °. 正解:∵☉O是△ABC的内切圆, ∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB, ∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A), ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (180°- ∠A)=90°+ ∠A=90°+ ×45°=112.5°. 答案:112.5° 【一题多变】 在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=8,CB=6,则△ABC内切圆的 周长为________.  4π  【母题变式】 【变式一】(变换条件)如图,在△ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3,按以下步骤作 图:①以A为圆心,任意长为半径作弧, 分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于 MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE; ④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则 OC=   . 【变式二】(变换问法)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=60°,内切圆O与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F, 则∠DEF的度数为_________.  75°