人教版高中数学必修2直线 平面垂直的判定及其性质小结PPT课件

本章内容 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第二章 小结 知识要点 复习参考题 自我检测题 1. 三个公理 公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线在此平面内. 公理2: 过不在一条直线上的三点, 有且只 有一个平面. 三推论: ①两相交直线确定平面; ②两平行 直线确定平面; ③直线外的点与直线确定平面. 公理 3: 如果两个不重合的平面有 一个公共点, 那么它们有且只有一条过 该点的公共直线. 返回目录 2. 线线之间的位置关系 相交 平行 异面 共面 判定两直线平行的公理 4: 平行于同一条直线的两直线互相平行. 3. 两异面直线所成的角 ① 角的范围 (0, 90]. ② 由定义找角: ③ 垂直 相交非钝角, 且两边分别平行两异面直线. 异面垂直, 无垂足. 4. 线面平行的判定定理 b  a, a  a, b//a, ⇒￿b∥a. l∥a, l  b, b∩a = m ⇒￿l∥m. 由线线平行得线面平行. 5. 线面平行的性质定理 由线面平行得线线平行. aa, ba, a∩b, a∥b, b∥b, ⇒ a∥b. a∥ b, g∩a =a, g∩b =b, ⇒ a∥b. 6. 面面平行的判定定理 由线面平行得面面平行. 7. 面面平行的性质定理 由面面平行得线线平行. 8. 线面垂直的定义 ⊕若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线, 则叫 l⊥a. 应用: 若 l⊥a, 则 l 垂直平面 a 内的任意一直线. l⊥a, ma, l⊥m. ⊕过空间任意一点, 有且只有一条直 线和已知平面垂直. 9. 线面垂直的判定定理 ⊕如果一条直线和一个平面内的两条相 交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个 平面. l⊥a, l⊥b, a∩b=P, l⊥a.aa, ba, ⊕两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面. 10. 三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影; 如果平面内的一条直线垂直平面的一条 斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线. 11. 直线和平面所成的角 ⊕斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角). ⊕垂线与平面所成的角为90. ⊕平行线或在平面内的直线与平面所成的 角为 0. ⊕斜线和平面所成的角是斜线和平面内所 有直线所成角中最小的. ⊕两条平行线和同一个平面所成的角 相等. 12. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. l1⊥a, l2⊥a,  l1//l2. 由线面垂直得线线平行. 13. 二面角及它的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角. 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个 半面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小由它的平面角确定. 14. 两平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两 个平面垂直. a b ll⊥a, l b, ⇒ b⊥a. 15. 平面与平面垂直的性质 ⊕两个平面垂直, 则一个平面内垂直 于交线的直线与于另一个平面垂直. a⊥b, a∩b = m, l⊥m, l a, ⇒ l⊥b. a bm l ⊕两平面垂直, 平行于一平面的直 线垂直于另一平面. 返回目录 A 组 1. 三个平面可将空间分成几部分? 你能画出它 们的直观图吗? 答: 三个平面可将空间分成 4个、或 6个、或 7个、 或 8个部分. 4部分 a b g 6部分 a b g 7部分 8部分 a b g ba g 复习参考题 2. 如图, 一块正方体形木料的上底面上有一点 E, 经过点 E 在上底面上画一条直线与 CE 垂直, 怎样画? A B CD A1 B1 C1D1 ·EM N 画法: ① 连结C1E, 过点 E 作 MN⊥C1E. ② 在平面A1C1内, 则 MN就是所要求作的直线. ∵ CC1⊥平面A1C1, MN平面A1C1, ∴ MN⊥CC1. 所作 MN⊥C1E, 其理由: 则 MN⊥平面C1EC, 得 MN⊥CE. 3. 证明: 两两相交且不过同一点的三条直线必 在同一个平面内. 如图, 已知直线 a∩b=A, b∩c=B, c∩a=C. 求证 a, b, c 共面. 证明: ∵ a∩b = A, ⇒ a、b 确定平面, 设为 a, 则 aa, ba, 得 Ca, Bb, ∴ a、b、c 共面于 a. a 又 c∩a = C, c∩b = B, A B C a b c 于是得 Ca, Ba, 即得 ca, 4. 如图, 正方体的棱长是 a, C, D 分别是两条 棱的中点. (1) 证明四边形 ABCD 是一个梯形; (2) 求四边形 ABCD 的面积. 证明: 如图, 连结上底面 ∵C, D是两棱中点, A C B DA B 而 AB//AB, 且AB=AB, ∴CD//AB, 且CD≠AB, 则ABCD是梯形. (1) 对角线AB, ∴CD//AB, 且 A C B DA B 4. 如图, 正方体的棱长是 a, C, D 分别是两条 棱的中点. (1) 证明四边形 ABCD 是一个梯形; (2) 求四边形 ABCD 的面积. 解: 在底面正方形中求得 如图, 在Rt△OOE中可求得 ∴梯形ABCD的面积为 (2) O EO 梯形的高 OE= E 5. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1中, AE=A1E1, AF=A1F1, 求证 EF//E1F1, 且 EF=E1F1. 证明: 连结EE1, FF1, 在正方体中, AE∥A1E1, AF∥A1F1, 又知 AE=A1E1, AF=A1F1, ∴ AEE1A1和AFF1A1是□, 则 EE1//AA1, 且EE1=AA1, FF1//AA1, 且FF1=AA1, ∴ 四边形EE1F1F是□, 得 EE1//FF1, 且EE1=FF1, 则 EF//E1F1, 且EF=E1F1. A A1 E F E1 F1 B CD B1 C1 D1 6. 如图, 长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c, 求长方体对角线 AC 的长. A A D C D C B B a b c 解: 设长方体中同一顶点 处的三条棱长为 x, y, z, 而 AC2=AC2+CC2 =AB2+BC2+CC2 xy z则 a2=x2+y2, b2=y2+z2, c2=z2+x2, = x2+y2+z2 7. 如图, 四棱锥 V-ABCD 中, 底面 ABCD 是边 长为 2 的正方形, 其他四个侧面都是侧棱长为 的 等腰三角形, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求 它的度数. A B CD V E F 解: 分别取 AB、CD 的中点 E、F, 连结 VE、EF, 则∠VEF就是二面角V-AB-C 的平面角. 连结VF, 由已知可得VF=VE= =2, 又 EF=2, ∴∠VEF=60, 即二面角 V-AB-C 的度数是60. 8. 已知 a, b, g 是三个平面, 且 a∩b = a, a∩g = b, b∩g = c, 且a∩b = O. 求证 a, b, c 三线共点. bg a b a c证明: ∵a∩b = O, 得 Oa, Ob, a∩b = a, ab, a∩g = b, bg,  Ob, Og, 即O为 b 与 g 的公共点, 而 b∩g = c, ∴交线 c 必过 O 点, 则 a, b, c 三线共点O. 9. 如图, 平面 a、b、g 两两相交, a、b、c 为三 条交线, 且 a//b, 求证 a//b//c. ba g a b c∵ a∥b,证明: g∩b = b, ag, a//b. 同理, a∥b, a∩b = c, aa, a//c. 于是得 b//c, ∴得 a//b//c. 10. 如图, a∩b = AB, PC⊥a, PD⊥b, C, D 是 垂足, 试判断直线 AB 与 CD 的位置关系? 并证明你 的结论. 答: AB⊥CD. 证明: ∵a∩b =AB, ∴ABa, ABb. 而 PC⊥a, PD⊥b, ∴￿PC⊥AB, PD⊥AB. 则￿AB⊥平面PCD. 而 CD平面PCD, ∴AB⊥CD. a bA B C D P B 组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A, 求证: AD⊥EF. (2) 当 BE=BF= BC 时, 求三棱锥 AEFD 的体积. A B C D E F A B E D F (1) 证明: ∵DA⊥AE, DC⊥CF, ∴DA⊥AE, DA⊥AF, 则 DA⊥平面 AEF, 于是得 DA⊥EF. B 组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A, 求证: AD⊥EF. (2) 当 BE=BF= BC 时, 求三棱锥 AEFD 的体积. A B C D E F A B E D F (2) 解: ∵BC=2, 则 得 H△AEF的高AH = B 组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A, 求证: AD⊥EF. (2) 当 BE=BF= BC 时, 求三棱锥 AEFD 的体积. A B C D E F A B E D F (2) 解: ∵BC=2, 则 得 H△AEF的高AH = AD=AD=2, ∴ 三棱锥 AEFD 的体积为 2. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证: (1) B1D⊥平面A1C1B; (2) B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心 (三角形三条中线的交点). A B CD A1 B1 C1D1 H· (1)证明: 连结B1D1, 则A1C1⊥B1D1, 又A1C1⊥D1D, ∴A1C1⊥平面B1D1D, 则A1C1⊥B1D. 同理, 连结B1C, 可得BC1⊥B1D. ∴ B1D⊥平面A1C1B. 2. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证: (1) B1D⊥平面A1C1B; (2) B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心 (三角形三条中线的交点). 设A1C1∩B1D1=O, 则O, H, B是平面A1BC1与平 (2)证明: A B CD A1 B1 C1D1 H·面B1BDD1的公共点, 即B, H, O共线. 而O点是A1C1的中点, 即BO是△A1C1B的中线. O 同理, 设BC1∩B1C=E, E A1, H, E共线且是△A1C1B的中线. ∴H是△A1C1B的重心. 自我检则题自我检则题 返回目录 自我检测题 一、选择题. 1. 如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是 ( ) 2.下列命题中,错误的命题是 ( ) (A) 平行于同一直线的两个平面平行 (B) 平行于同一平面的两个平面平行 (C) 一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交 (D) 一条直线与两个平行平面所成的角相等 3.在正体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于 ( ) (A) AC (B) BD (C) A1D (D) A1D1 4.下列命题中,正确的是 ( ) (A)一个平面把空间分成两部分 (B)两个平面把空间分成三部分 (C)三个平面把空间分成四部分 (D)四个平面把空间分成五部分 5.已知直线l⊥平面a, 直线m平面b, 有下列命题: ① a//bl⊥m; ② a⊥bl//m; ③ l//ma⊥b; ④ l⊥ma//b. 其中正确的命题是 ( ) (A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③ P Q R S (A) P Q R S (B) P Q R S (C) P Q R S (D) 二、填空题. 6. 若点M在直线a上, a 在平面 a 上, 则 M, a, a 间的关系可用集合语言表示为 . 7. 设 a, b, c 是空间的三条直线, 下面给出四个命题: ① 若 a⊥b, b⊥c, 则 a//c; ② 若 a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a, c 也是异面直线; ③ 若 a 和 b 相交, b 和 c 相交, 则 a 和 c 也相交; ④ 若 a 和 b 共面, b 和 c 共面, 则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是 . 三、解答题. 8. (1) 用符号语言表示语句: “直线 l 经过平面 a内一定点 P, 但 l 在 a 外”, 并画出图形. (2) 把下面的符号语言改写成文字语言的形式, 并画出图形. 若直线 a平面a, Aa, Aa, A直线 b, a//b, 则 ba. 9. 如图, 在长方体 ABCD-ABCD 中, 指出 BC, DB 所在直线与各个面 所在平面的关系. 10. 如图, 过点 S 引三条不共面的直线 SA, SB, SC, 其中∠BSC=90, ∠ASC=∠ASB=60, 且SA=SB=SC=a. 求证: 平面 ABC⊥平面 BSC. A B CD A B CD S A C B 一、选择题. 1. 如图, 点 P, Q, R, S 分别在正方体的四条棱 上, 并且是所在棱的中点, 则直线 PQ 与 RS 是异面 直线的图是 ( ) P Q R S (A) P QR S (B) P Q R S (C) P Q R S (D) 平行 平行 相交异面 C 2. 下列命题中, 错误的命题是 ( ) (A) 平行于同一直线的两个平面平行 (B) 平行于同一平面的两个平面平行 (C) 一条直线与两个平行平面中的一个相交, 那 么这条直线必与另一个相交 (D) 一条直线与两个平行平面所成的角相等 A 3. 在正体 ABCD-A1B1C1D1 中, 若 E 是 A1C1 的 中点, 则直线 CE 垂直于 ( ) (A) AC (B) BD (C) A1D (D) A1D1 A B CD A1 B1 C1D1 E 分析: 如图, (A) AC 与 CE 相交, 排除. (B) 直观 BD 可能垂直 CE. ∵BD⊥AC, 且 BD⊥CC1, 则 BD⊥平面 ACC1A1, 而 CE平面 ACC1A1, ∴BD⊥CE. B 4. 下列命题中, 正确的是 ( ) (A)一个平面把空间分成两部分 (B)两个平面把空间分成三部分 (C)三个平面把空间分成四部分 (D)四个平面把空间分成五部分 A 一个平面如图. 两个平面如图. 三个平面如图. 四个平面如图. 5. 已知直线 l⊥平面 a, 直线 m平面 b, 有下列 命题: ① a//bl⊥m; ② a⊥bl//m; ③ l//ma⊥b; ④ l⊥ma//b. 其中正确的命题是 ( ) (A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③ a l m b a l m b a l m b a l m b ①成立 ②反例 ③成立 ④反例 D 二、填空题. 6. 若点 M 在直线 a 上, a 在平面 a 内, 则 M, a, a 间的关系可用集合语言表示为 .Ma, aa 7. 设 a, b, c 是空间的三条直线, 下面给出四个 命题: ① 若 a⊥b, b⊥c, 则 a//c; ② 若 a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a, c 也是异面直线; ③ 若 a 和 b 相交, b 和 c 相交, 则 a 和 c 也相交; ④ 若 a 和 b 共面, b 和 c 共面, 则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是 . A B CD A1 B1 C1D1a b c ①反例如图. b c ②反例如图. ③反例如图. ④反例如图. 0 个 三、解答题. 8. (1) 用符号语言表示语句: “直线 l 经过平面 a 内一定点 P, 但 l 在 a 外”, 并画出图形. (2) 把下面的符号语言改写成文字语言的形式, 并画出图形. 若直线 a平面 a, Aa, Aa, A直线 b, a//b,则 ba. 解: (1) Pl, Pa, la. aP l 三、解答题. 8. (1) 用符号语言表示语句: “直线 l 经过平面 a 内一定点 P, 但 l 在 a 外”, 并画出图形. (2) 把下面的符号语言改写成文字语言的形式, 并画出图形. 若直线 a平面 a, Aa, Aa, A直线 b, a//b,则 ba. 解: (2) 若直线 a 和点 A 都在平面 a 内, a 不 经过点 A, 直线 b 经过点 A 且平行于 a, 则直线 b 在平面 a 内. aAa · b 9. 如图, 在长方体 ABCD-ABCD 中, 指 出 BC, DB 所在直线与各个面所在平面的关系. A B CD A B CD解: BC平面BBCC, BC//平面AADD, BC∩平面AABB=B, BC∩平面ABCD=C, BC∩平面CCDD=C, BC∩平面ABCD=B. DB∩平面ABCD=B, DB∩平面ABCD=D, DB∩平面AABB=B, DB∩平面BBCC=B, DB∩平面CCDD=D, DB∩平面DDAA=D. 10. 如图, 过点 S 引三条不共面的直线 SA, SB, SC, 其中∠BSC=90, ∠ASC=∠ASB=60, 且 SA=SB=SC=a. 求证: 平面 ABC⊥平面 BSC. S A C B 证明: ∵∠ASC=∠ASB=60, SA=SB=SC=a. ∴△ASC≌△ASB, AB=AC. 取 BC 的中点 E, 则 AE⊥BC. E 在等腰直角△BSC 中, 斜边中线 SE=CE. 在等边三角形 ASC中, AC=AS. ∴△AES≌△AEC. 得∠AES=∠AEC, 即 AE⊥ES. ① ② 由①②知AE⊥平面 BSC. ∵AE平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 BSC.