人教版高中数学必修2 4.3.2空间两点间的距离公式PPT课件2

4．3 空间直角坐标系 4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式 [问题] 空间中如何表示板凳和气球的位置？ [提示] 可借助于平面坐标系的思想建立空间直 角坐标系，如图所示． x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系O－xyz 点O x轴、y轴、z轴 每两个坐标轴 xOy yOz xOz 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______ 的正方向，食指指向_______的正方向，如果中 指指向______的正方向，则称这个坐标系为右 手直角坐标系． x轴 y轴 z轴 二、空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用_____________________ 来表示，_____________________叫做点M在此空 间直角坐标系中的坐标，记作___________，其中 ___叫做点M的横坐标，____叫做点M的纵坐标， ___叫做点M的竖坐标． 有序实数组(x，y，z) 有序实数组(x，y，z) M(x，y，z) x y z 1．要求坐标就必须建立空间直角坐标系． 2．同一个点在不同的坐标系中的坐标也不同． 3．识记一些特殊位置的点的坐标． 4．画空间直角坐标系的注意事项： (1)x轴与y轴成135°角，x轴与z轴成90°角； (2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度应相等， x轴上的单位长度则等于y轴的一半(xOy平面适用 于斜二测画法)； (3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直． [问题1] 如何求数轴上两点间的距离？ [提示] |AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1| [问题2] 如何求平面直角坐标系中，P、Q两点 间距离？ [问题3] 若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2， y2，z2)，如何求|P1P2|. 1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(  ) A．y轴上     B．xOy平面上 C．xOz平面上 D．第一象限内 解析： 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平 面上． 答案： C 2．点P(1,2，－1)在xOy平面内的垂足为B(x ，y，z)，则x＋y＋z＝(  ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析： 点P(1,2，－1)在xOy平面内的垂足 为B(1,2,0)， ∴x＋y＋z＝3. 答案： A 3．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴 对称的点的坐标是________；关于xOy平面对 称的点的坐标是________；关于点A(1,0,2)对称 的点的坐标是________． 解析： 点P关于x轴对称后，它在x轴的分量 不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数， 所以点P关于x轴的对称点P1的坐标为(－2，－1 ，－4)． 点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量均 不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1 ，－4)． 设点P关于点A的对称点坐标为P3(x，y，z)， 由中点坐标公式可得 答案： (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0) 4．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)， C(－2，－4，－3)，试判断△ABC的形状． [边听边记] (1)∵D是坐标原点，A、C、D′分别 在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体棱长为2 ， ∴D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)，D′(0,0,2)． ∵B点在xDy平面上，它在x、y轴上的射影分别是 A、C， ∴B(2,2,0)，同理，A′(2,0,2)、C′(0,2,2)； ∵B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影 是D′， ∴B′(2,2,2)． (2)方法同(1)，可求得A′(2,0,0)、B′(2,2,0)、 C′(0,2,0)、D′(0,0,0)、A(2,0，－2)、B(2,2，－2) 、C(0,2，－2)、D(0,0，－2)． 空间中点P坐标的确定方法： (1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次 交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、 y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标 就是(x，y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质 解题． [思路点拨] 只要类比平面直角坐标系中点的对 称问题就可解决．解析： (1)由于点P关于xOy平面对称后，它在x 轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相 反数，所以对称点为P1(－3,2,1)； (2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的 分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，所 以对称点为P2(3,2，－1)； (3)由于点P关于zOx平面对称后，它在x轴、z轴的分 量不变，在y轴的分量变为原来的相反数，所以对称 点为P3(－3，－2，－1)； (4)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在 y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P4(－3，－2,1)； (5)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在 x轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P5(3,2,1)； (6)由于P点关于z轴对称后，它在z轴的分量不变，在 x轴、y轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P6(3，－2，－1)； 此类问题要类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解 ．求对称点的问题常常可用“关于谁对称，谁 保持不变，其余坐标相反”的说法．  2．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于原点的对 称点的坐标为(  ) A．(1，－3，－4) B．(－4,1，－3) C．(3，－1,4) D．(4，－1,3)解析： 空间中的一点关于原点对称的点的 坐标应为原先这个点的每个坐标分量的相反 数，故所求的点是(3，－1,4)． 答案： C 3．在空间直角坐标系中点P(1,3，－5)关于xOy对 称的点的坐标是(  ) A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5) C．(1,3,5) D．(－1，－3,5) 解析： 空间中(a，b，c)关于xOy的对称点为(a， b，－c)． 答案： C [思路点拨] 代入空间两点间距离公式转化为二次 函数最值可求． 求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出 相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式 求值． 4．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)． (1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|； (2)若xOz平面上的点M到A点的距离与到B点的 距离相等，求点M的坐标满足的条件． ◎在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD| ＝4，|AA1|＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适 当的坐标系，求点C，B1，P的坐标．(写出符合 题意的一种情况即可) 【错因】 错解中，坐标系的建立不符合右手法 则，因此解答是不正确的．