知识探究:直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题1:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,
接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船
正西70 km处, 受影响的范围是半径长为
30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正
北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那
么它是否会受到台风的影响?
轮船
港口
台风
思考1:解决这个问题的本质是什么?
思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过
台风圆域?
轮
船
港
口
台
风
x
y
o
思考3:如图所示建立直角坐标系,取10km
为长度单位,那么轮船航线所在直线和台风
圆域边界所在圆的方程分别是什么?
思考4:直线4x+7y-28=0与圆x2+y2=
9的位置关系如何?对问题1应作怎样的
回答?
轮船
港口
台风
问题2:如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.
这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m
,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求
支柱A2P2的高度(精确到0.01m)
A BA1 A2 A3 A4O
PP2
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度吗?
思考2:如图所示建立直角坐标系,那么求支
柱A2P2的高度,化归为求一个什么问题?
A BA1 A2 A3 A4O
PP2
x
y
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐
标是多少?问题2的答案如何?
思考3:取1m为长度单位,如何求圆拱所在圆
的方程?
x2+(y+10.5)2=14.52
A BA1 A2 A3 A4O
PP2
x
y
知识探究:直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题2:已知内接于圆的四边形的对角线互相
垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边
所对边长的一半.
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”
来解决,首先要做的工作是建立适当的直角
坐标系,在本题中应如何选取坐标系?
X
y
o
思考2:如图所示建立直角坐标系,设四边
形的四个顶点分别为点 A(a,0),B(0,b)
,C(c,0), D(0,d),那么BC边的长为多
少?
A
B
C
D
M x
y
o
N
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如
何?
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离
|MN|?
A
B
C
D
M x
y
o
N
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|,从
而命题成立.你能用平面几何知识证明这个
命题吗?
A
B
C
D
M
N
E
理论迁移
例1 如图,在Rt△AOB中,|OA|=4,
|OB|=3,∠AOB=90°,点P是△AOB内
切圆上任意一点,求点P到顶点A、O、B的
距离的平方和的最大值和最小值.
O A
B
P
C
X
y
O1
M
O2
P
N
o
y
x
例2 如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,圆
心距为4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切
线,切点为M、N,且使得
|PM|= |PN|,
试求点P的运动轨迹是什么曲线?
1.用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当
的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何
元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通
过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结
果“翻译”成几何结论.
2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然
重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方
法和技巧.
课堂小结: