人教版高中数学必修2 4.1.2圆的一般方程PPT课件

圆的一般方程 教学目标 • 1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点 • 2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程 • 3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 • 4、培养学生数形结合思想,方程思想,提高学 生分析问题及解决问题的能力. • 重点:圆的一般方程及一般方程的特点 • 难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求 圆的方程. 圆的标准方程的形式是怎样的？ 从中可以看出圆心和半径各是什么？ 圆的一般方程 【课前练习】 1.圆心在（-1,2），与 y 轴相切的圆的方程. (x+1)2+(y-2)2=1 2.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程 (x-8)2+(y-3)2=13 3.已知两点A(4,9)、B(6,3), 以AB为直径 的圆的方程是 (x-5)2+(y-6)2=10 (x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4 20 C(2,2) C(-2,-2) x y -2 -2 y=x 4.求圆心在直线y = x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程. 小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径. 2 二、[导入新课] 1、同学们想一想，若把圆的标准方程 展开后，会得出怎样的形式？ 2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？ 3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？ 4、将 左边配方，得 (1)当 时, 可以看出它表示以 为圆心, 以 为半径的圆; D2+E2-4F>0 (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个 点 ； (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解, 不表示任何图形． [观察]：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点. 圆的标准方程 圆的一般方程 [[说明说明]]：： (1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了 圆心和半径 ； (2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点. ①是 ②不是 ③不是 例1： 下列方程各表示什么图形? 若是圆则求出圆心、半径. a 例2： (1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系: 一般方程 标准方程 [小结一]: P123 练习1,2 例4：求过三点 的圆的 方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 解：设圆的方程是 ①. 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以他们的坐标都是方程 ①的解，把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E， F的三元一次方程组 所以，圆的方程为 圆心坐标是（4，-3），半径长 例5：已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点 A在圆 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程。 解：设点M的坐标（x,y）,点A的坐标 .由于点B的坐标是 （4,3），且点M是线段AB的中点，所以 于是有 ①因为点A在圆 即 ②，把①代入②，得 整理得 所以点M的轨迹是以 为圆心，半径长是1的圆. • P123 练习3 小结 1.圆的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0). 2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系: (1) (2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而 一般方程突出了方程形式上的特点. 3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系 : (1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4F>0时,二元二次方程才表示圆 的一般方程. 4.圆的一般方程的特点: (1)x2和y2的系数相同且不等于0. (2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的 一般方程. 1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为 (用配方法求解) 3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? 2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程 标准方程(圆心,半径 ) 小结 几何方法 求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线） 求半径 （圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程 待定系数法 列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组 解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程） 小结求圆的方程 例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点 x y O E A(5,1) B(7,-3) C(2,-8) 几何方法 方法一： 方法二：待定系数法 待定系数法 解：设所求圆的方程为： 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 所求圆的方程为 例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法三：待定系数法 解：设所求圆的方程为： 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 所求圆的方程为 例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用 圆的一般方程用待定系数法求解. [小结二]: (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 综合检测：自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴 反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切， 求反射光线所在直线的方程. • B(-3，-3) A(-3，3) • C(2, 2) • 课堂检测： 1.已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线 2x－y＋1＝0上，且半径为5，求这个 圆的方程． 变式1 求满足下列条件的各圆C的方程： (1)和直线4x＋3y－5＝0相切，圆心在直 线x－y＋1=0上，半径为4； (2)经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心 在直线x＋2y＝0上． 的内部，求实数a 的取值范围． 变式2 若点(1， )在圆x2＋y2－2ax－2 ay ＝0(a≠0)的外部，求实数a的取值范围． 3.画出方程x－1＝ 表示的曲线 . 变式3 画出方程y＝3＋ 表示的曲线. 2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 本节小结： 圆的标准方程和一般方程； 用待定系数法求方程中的基本量． 课后作业： 必做：P124：2、3 选做：P144：7、 8．