人教版高中数学必修二知识点归纳

高中数学必修（2）章节分析第 一 章 空 间 几 何 体 结构 柱 锥 球 台 三视图和直观图 三视图 直观图 表面积和体积 表面积 体积第一章：空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 四、主要知识点 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体 叫做棱台 难点突破 1、运用实物使学生感受几何体的结构特征，并引导他们从底面、侧面等方面总 结不同几何体的本质结构特征，再分别以选择题、填空题、解答题的形式巩固。 棱柱的结构特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四 边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 圆柱的结构特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂 直；④侧面展开图是一个矩形。 棱锥的结构特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其 相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 圆锥的结构特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一 个扇形。 棱台的结构特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交 于原棱锥的顶点。 圆台的结构特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面 展开图是一个弓形。 球体的结构特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图 一、教学目标 （1）掌握画三视图的基本技能 （2）丰富学生的空间想象力 二、教学重点、难点 重点：画出简单组合体的三视图 难点：识别三视图所表示的空间几何体 三、主要知识点 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行 光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。难点突破 本节内容较简单，学生在初中就已经比较多的接触三视图了，高中只是把几何体 稍微做了组合后再画三视图的，只要让学生熟练掌握几种常见几何体的三视图， 组合几何体的三视图就不难画出来了。1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体 之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、主要知识点 柱体、锥体、台体的表面积和体积公式难点突破 1、在求多面体的侧面面积时，应该对每一个侧面展开再分别求解后再相加。 比如长方体。 2、在解决台体的有关计算问题时，注意应用“还台为锥”的处理策略。 比如求圆台的表面积。 3、计算柱体、锥体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意 充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解。 4、注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些 不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握。 5、利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平 面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和地面进行转化，借助体积的不变 性解决问题。证明： ∵ ∵ 圆柱的侧面展开图是矩形，它的一边长是底面边长圆柱的侧面展开图是矩形，它的一边长是底面边长 2∏r2∏r，另一边长为，另一边长为 圆柱母线圆柱母线 ll ∴ S∴ S侧面积侧面积=cl=2=cl=2∏∏rlrl 如果如果圆柱的底面半径是圆柱的底面半径是rr，周长是，周长是cc，侧面母线，侧面母线 长是长是ll，那么它的侧面积是，那么它的侧面积是 SS侧面积侧面积=cl=2=cl=2∏∏rlrl 作圆柱的侧面展开图作圆柱的侧面展开图 l rr 侧面展开图侧面展开图 2∏r l rr证明：将圆台补成圆锥将圆台补成圆锥.. cl+ (c-c ’’)x 1 2 1 2 又又∵ ∵ ==c c ’’ cc X+lX+l X X ∴ x =∴ x =c c ’’ll c-c c-c ’’ 1 2 1 2 cc（（l+xl+x））—— c c ’’xx∴ S∴ S侧面侧面 积积 == == 如果如果圆台的上、下底面半径是圆台的上、下底面半径是r’r’、、rr，周长是，周长是 c’ c’、、cc，侧面母线长是，侧面母线长是ll，那么它的侧面积是，那么它的侧面积是:: SS侧面积侧面积 = = （（c c ’’+c+c））l=l=∏∏（（r r ’’+r+r））ll 1 2 作其侧面展开图作其侧面展开图，设，设OA=xOA=x1 2 〔〔c l + c l + （（c-c c-c ’’）） 〕〕 c c ’’llc-c c-c ’’ 1 2= = （（c+c c+c ’’））ll =∏=∏（（r+r r+r ’’））ll ∴ ∴ S侧面积侧面积 == 定理定理33：如果圆台的上、下底面半径是：如果圆台的上、下底面半径是r’r’、、rr，周长是，周长是 c’ c’、、cc，侧面母线长是，侧面母线长是ll，那么它的侧面积是，那么它的侧面积是:: SS侧面积侧面积 = = （（c c ’’+c+c））l=l=∏∏（（r r ’’+r+r））ll 1 2§1.3.2 球的体积和表面积 教学目标 （1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 （2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 主要知识点：R  高等于底面半径的旋转体体积对比 球的体积 　学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先来回忆圆面 积计算公式的导出方法． 球的体积 　我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近 似的看成是边长分别是　　当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就 得到了圆的面积公式． 　　即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值 相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体 积推出准确体积． 球的体积 分割 求近似和 化为准确和问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积. A O B2 C2 球的体积 A OO R O A 球的体积球的体积球的体积2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥, 这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就 精确到等于球的体积. 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看 作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小 块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积. 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表 面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导 球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式． 球的表面积球的表面积第 一 步： 分 割 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 则球的表面积： 则球的体积为： O O 球的表面积第 二 步： 求 近 似 和 由第一步得： OO 球的表面积第 三 步 ： 化 为 准 确 和 如果网格分的越细,则: “小 锥体”就越接近小棱锥 O 球的表面积基本计算问题 1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. O 2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的 ________倍. (2)把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来 的_______倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为 _________. (4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为 ________.• 用一个平面α去截一个球O，截面是圆面 O ß 球的截面的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R，则 截面问题平面（公理1、2、3、4） 空间直线、平面的位置关系 直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系 平面与平面的位置关系 空间平行关系的转化 线线平行 线面平行 面面平行 空间垂直关系的转化 线线垂直 线面垂直 面面垂直第二章 直线与平面的位置关系 §2.1.1 平面 一、教学目标： （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 二、教学重点、难点 重点：1、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符 号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、主要知识点 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。难点突破 1、从实例出发引申出几何里的平面，重点说明几何里的平面是无限延伸的。 2、通过让学生自己画平面巩固平面的表示方法，因为平面是由无数个点组成的， 所以点与面之间是属于或者不属于的关系，而线也是由点组成的集合，所以线与 面之间是包含或者不包含的关系。 3、本节课学生学习的是三条公理，不需要证明，只要学生能根据实际经验理解 即可，以后可以直接应用在证明中。 4、本节课还需要学生能够较熟练的掌握几何符号语言，可以通过一些简单的例 子加以训练巩固。比如课本43页的第3题。§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、教学目标： （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、主要知识点 1、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互 补。 3、两条异面直线所成的角θ∈(0， ； 4、当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记 作a⊥b； 5、两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 6、计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。难点突破 1、异面直线的引入通过生活中的实例引入，如教室中组成桌子的很多线条就是 异面直线，让学生充分体会到异面直线是既不平行也不相交的。接着引出异面直 线的夹角的定义，异面直线的夹角是 2、异面直线的判断一般是采用根据定义的直观判断法，也可以用反证法来判定。 3、通过课本例三总结求异面直线夹角的求解步骤（1）一般是用平移法（可以借 助三角形的中位线、平行四边形等）做出异面直线大的夹角；（2）证明做出的 角就是所求的角；（3）利用条件求出这个角；（4）如果求出的角是直角或者锐 角，则它就是要求的角，如果是钝角，则其补角才是要求的角。 θ∈(0， ；§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、主要知识点 1、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 2、面面位置关系：平行、相交。难点突破 本节课没有只是让学生认识到直线与平面的两种位置关系和平面与平面的两种位 置关系，已经他们的符号表示，内容较简单容易理解，是为接下来学习线面平行、 垂直和面面平行、垂直做准备的。§2.2.1 直线与平面平行的判定 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理； （2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 二、教学重点、难点 重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。 三、主要知识点 线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面 平行。难点突破 直线与平面平行的判定定理不要求学生证明，只要求学生会应用，其实此定理渗 透的思想就是把线面平行转化为平面几何中的线线平行，这是证明几何问题的常 用思路，因此以后再证明线面平行时，只要在这个平面内找出一条直线与已知直 线平行即可。这些通过例一学生都能领会。§2.2.2 平面与平面平行的判定 一、教学目标： 1、知识与技能 理解并掌握两平面平行的判定定理。 2、过程与方法 让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。 3、情感、态度与价值观 进一步培养学生空间问题平面化的思想。 二、教学重点、难点 重点：两个平面平行的判定。 难点：判定定理、例题的证明。 三、主要知识点 面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。难点突破 面面平行定理中的“相交直线”不可忽略，这里可以出些选择判断类习题加以巩 固。 通过例二总结利用判定定理证明面面平行的基本步骤（1）在一个平面内选取两 条相交的直线；（2）证明这两条直线都与另一个平面平行。§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用； （2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。 二、教学重点、难点 重点：两个性质定理 。 难点：（1）性质定理的证明； （2）性质定理的正确运用。 三、主要知识点 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行。 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交 线平行。难点突破 直线与平面平行的判定定理是由直线与直线平行得到直线与平面平行，直线与平 面平行的性质定理是由直线与平面平行得到直线与直线平行，这种直线与平面的 位置关系同直线与直线的位置关系的转化是立体几何中的一种重要的思想方法。 所以以后证明线线平行也是可以转化为线面平行来证明的。 同样的，面面平行中也蕴含着线面平行和线线平行。 这些性质以及判定揭示了直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系 的相互转化。§2.3.1直线与平面垂直的判定与性质 一、教学目标 （1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法； （3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归 纳、概括结论。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、主要知识点 ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线 和这个平面 垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面。 （3）性质：垂直于同一平面的两条直线平行。 难点突破 1、一条直线垂直于一个平面，是指这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线， 因此我们经常利用这个定义来证明线线垂直。 2、直线与平面垂直的判定定理可以简单的记为线线垂直 线面垂直，定 理中的关键词语是“两条相交直线”和“都垂直”，证题时常常是定义和判定定 理反复使用，使线线垂直和线面垂直关系相互转化。 3、线面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行的推 导链中，实现平行与垂直的相互转化， 即线线垂直 线面垂直 线线平行 线面平行。 4、求解线面角时，先找到平面的垂线和斜线在平面内的射影，然后在三角形中 解决，也可以用空间向量解决。§2.3.2平面与平面垂直的判定与性质 一、教学目标 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、 “两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 二、教学重点、难点。 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 四、主要知识点 面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互 相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。作二面角的平面角的常用方法 ①、点P在棱上 ②、点P在一个半平面上 ③、点P在二面角内 ι p α β ABA B p α β ι A B O α βι p —定义法 —三垂线定理法 —垂面法 二面角从几何直观到代数表示 （建立直线的方程） 点 坐标 倾斜角 斜率 点斜式 直线 二元一次方程 两点式 一般式 从代数表示到几何直观 （通过方程研究几何性质和度量） 两条直线的 位置关系 平行和垂直 的判定 相 交 （一个交点） 平 行 （无交点） 距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离 第三章 直线与方程第三章 直线与方程 3.1.1直线的倾斜角和斜率 教学目标: 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． 理解直线的倾斜角的唯一性. 理解直线的斜率的存在性. 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 重点与难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 主要知识点 倾斜角与斜率： 难点突破 1、直线的斜率的求法（1）利用倾斜角的正切来求；（2）利用直线上两点的坐 标来求。 2、特例说明所有直线都有倾斜角，但却不一定有斜率，所以遇到应用斜率公式 求直线斜率时，要注意条件 , 遇到字母要注意对字母的取值进行讨 论。 如：直线l过点A（1,2），B（m,3），求l的斜率。 3、利用斜率公式还可以证明三点共线。 如：如果三点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一条直线上，求m的值。3.1.2两条直线的平行与垂直 教学目标 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率 的关系 主要知识点 ⑴点斜式： ⑵斜截式： ⑶两点式： ⑷一般式： 对于直线： 有（1） （2）难点突破 这两个结论应用的前提都是当直线的斜率 存在时，如果两条直线的斜率都不存在，那么它们也是平行的，因为它们都是垂 直于x轴的，如果一条斜率不存在，另一条斜率为零，那么它们是垂直的，因为 他们一条垂直于x轴，一条垂直于y轴。 如：已知经过点A(-2,0),B(1,3a)的直线与经过点P（0，-1），Q（a,-2a）的直线互 相垂直，则实数a的值是多少。3.2两直线的交点坐标与距离公式 教学目标 1.直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。 难点：两直线相交与二元一次方程的关系。 主要知识点难点突破 1.判断两条直线是否相交就是求这两条直线组成的方程组是否有唯一解，如果 有唯一解则相交，如果没有解则平行。所以直线的交点问题就转化成了解方程 组的问题，如果以后给出了直线的方程，求交点时不用画图直接解方程组就可 以求得交点。交点问题经常跟斜率等知识点联系起来组成复杂题型，很少单独 考。 2、两点间距离公式的推导用到了勾股定理，这个推导过程老师可以引导学生自 己动手写过程，以加深对公式的理解。这个公式对于解析几何里的距离问题有 很大帮助，很少单独考，都是跟直线、圆等知识结合起来考的。3.3点到直线的距离公式 教学目标 知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题 教学重点 两点间距离公式的推导。 教学难点 应用两点间距离公式证明几何问题。 主要知识点 难点突破 点到直线的距离公式应用的前提是把直线方程化为一般式，这点是个易错点，可 以通过习题巩固。平面直角坐标系 圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的简单应用 坐 标 法 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 第四章 圆与方程第四章 圆与方程 4.1圆的方程 教学目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 教学重点： 圆的标准方程和一般方程。 教学难点： 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的方程。 主要知识点 ⑴标准方程： ⑵一般方程：.难点突破 在用待定系数法求圆的方程时，如果可以较容易求得圆心坐标和半径，那么考虑 写成圆的标准方程，反之考虑用一般方程来表示。4.2.1 直线与圆的位置关系 一、教学目标 （1）理解直线与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 二、教学重点、难点： 重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 三、主要知识点 设直线l： ，圆C： , 圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以 下几点： （1）当d>r时，直线与圆相离； （2）当d=r时，直线与圆相切； （3）当d