第二章--整式的乘法考点一 幂的乘法运算
例1 计算：
（1）(2a)3(b3)2 ·4a3b4； （2）(－8)2017 ×(0.125)2016.
解：（1）原式=8a3b6 ×4a3b4=32a3+3b6+4=2a6b10.
（2）原式=（－8）×（－8）2016 ×（0.125）2016
=（－8）[（－8） ×0.125]2016
=（－8）×（－1）2016=－8.1.下列计算不正确的是（ ）
A.2a3 ·a=2a4 B. (－a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7 D. a2 ·a4=a8
D
针对训练
2. 计算：0.252017 ×（－4）2017－8100 ×0.5301.
解:原式=[0.25 ×（－4）]2017－（23）100 ×0.5300 ×0.5
=－1－（2 ×0.5）300 ×0.5
=－1－0.5
=－1.5.例2 （1） 已知an－3·a2n+1=a10,求n的值;
（2）已知xa=2,xb=3,求xa+b的值.
公式逆用：am+n=am·an
公式运用：am·an=am+n
解：n－3+2n+1=10,
n=4;
解：xa+b=xa·xb=2×3=6.
考点二 幂的运算的逆向运用3.已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
4.已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：3. (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
4. ∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3,
∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
针对训练 考点三 整式的乘法
例3 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中
x=1,y=3.
【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，
一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2) ×3x2y
=(2x3y2－2x2y) ×3x2y
= 6x5y3－6x4y2 .
当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108. 5.一个长方形的长是a－2b+1,宽为a,则长方形的面积
为 .a2－2ab+a
针对训练考点四 整式的乘法公式的运用
例4 先化简,再求值：[(x－y)2+(x+y)(x－y)]－2x2,
其中x=3,y=1.5.
【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括
号内的，再进行整式的除法运算.
解：原式=(x2－2xy+y2+x2－y2) ÷2x
=(2x2－2xy) －2x2
=－2xy.
当x=3,y=1.5时，原式=－9.6.求方程(x－1)2－(x－1)(x+1)+3(1－x)=0的解.
解：原方程可化为－5x+5=0,解得x=1.
7.已知x2+9y2+4x－6y+5=0,求xy的值.
解：∵x2+9y2+4x－6y+5=0,
∴(x2+4x+4)+(9y2－6y+1)=0，
∴(x+2)2+(3y－1)2=0.
∴x+2=0,3y－1=0,解得x=－2, y=
∴
针对训练考点五 转化思想的解题方法
例5 计算：(1)－2a·3a2b3·
(2)（－2x+5+x2）·（－6x3）.
【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的
乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以
转化为单项式乘以单项式.
解：（1）原式=
（2）原式=(－2x)·(－6x3)+5·(－6x3)+x2·(－6x3)
=12x4－30x3－6x5. 8.计算：（4a－b）•（－2b）2．
解：原式=（4a－b）•4b2=16ab2－4b3．
针对训练考点六 整体思想的解题方法
例6 若2a+5b－3=0，则4a·32b= .
【解析】已知条件是2a+5b－3=0，无法求出a，b的
值因此可以逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与
已知条件相关的部分，即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把
2a+5b看做一个整体，因为2a+5b-3=0，所以2a+5b=3
，所以4a·32b=23=8.
89.若xn=5，则(x3n)2－5(x2)2n= .12500
10.若x+y=2，则 = .2
针对训练例6 如图所示，在边长为a的正方形中剪去边
长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分
别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公
式是 .
b
a
a a a
b
b
b b b
a-b
考点七 数形结合思想的解题方法
a2－b2=(a+b)(a－b)11.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形
的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用
这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可
以用图①和图②等图形的面积表示.
a a
a
b
b ab ab
aba2 a2
b2
图①
b2
a2
a2
ab
ab
ab
a a
a
b
b图②
针对训练（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示
（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.
（1）请写出图③所表示的代数恒等式；
b
ba a
b
a
ab
ab ab
ab
ab
a2
a2
b2
b2
图③ 图④
a2
b
a abab
ab
ab
b2 b2b2
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2; 例8．已知多项式x2－mx－n与x－2的乘积中不
含x2项和x项，求这两个多项式的乘积．
考点八 多项式乘法中不含某项的求值
解：(x－2)(x2－mx－n)＝x3－mx2－nx－2x2
＋2mx＋2n＝x3－(m＋2)x2＋(2m－n)x＋2n，
因为乘积不含x2项和x项，所以2m－n＝0.
－（m＋2）＝0， 解得n＝－4.(m＝－2，)所
以这两个多项式的乘积为x3－8.12．若(x2＋ax＋1)·(－6x3)的展开式中不含x4项，
则a的值为( )
A．－6 B．－1 C．1 D．0
针对训练
13．(6分)已知(x2＋px＋8)与(x2－3x＋q)的乘
积中不含x3和x2项，求p、q的值
解：因为(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)＝x4－3x3＋qx2＋
px3－3px2＋pqx＋8x2－24x＋8q＝x4＋(p－3)x3＋
(q－3p＋8)x2＋(pq－24)x＋8q.因为乘积中不含x2
与x3项，所以p－3＝0且q－3p＋8＝0. 所以p＝3，
q＝1.
D考点九 多项式乘法中看错某项的求值
例9．某同学在计算一个多项式A乘以－3x2时，
因抄错运算符号，算成了加上－3x2，得到的结果
是x2－4x＋1.(1)这个多项式A是多少？(2)正确的
计算结果是多少？
解：(1)这个多项式A是：(x2－4x＋1)－(－
3x2)＝4x2－4x＋1.(2)正确的计算结果是：(4x2
－4x＋1)·(－3x2)＝－12x4＋12x3－3x2.针对训练
14．小青和小芳分别计算同一道整式乘法题：(2x
＋a)(3x＋b)，小青由于抄错了第一个多项式中a的
符号，得到的结果为6x2－13x＋6，小芳由于抄错
了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－x－
6，则这道题的正确结果是
6x2＋5x－6．例10．通过学习同学们已经体会到灵活运用整式乘
法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过
下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得
成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205.
考点十 乘法公式的巧妙运用
解：195×205＝(200－5)(200＋5)
①＝2002－52 ②＝39 975.
(1)例题求解过程中，第②步变形是利用
(填乘法公式的名称)；
平方差公式(2)用简便方法计算：①9×11×101×10 001；②
(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1.
解：①原式＝(10－1)(10＋1)(100＋1)(10 000＋1)
＝(100－1)(100＋1)(10 000＋1) ＝(10 000－
1)(10 000＋1) ＝108－1.
②原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
＝(22－1) (22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝(24－1)
(24＋1)…(232＋1)＋1＝264－1＋1＝264.考点十一 乘法公式的巧妙运用
例11．观察下列等式：(x－1)(x＋1)＝x2－1；(x－1)(x2＋x
＋1)＝x3－1；(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；(x－1)(x4＋x3
＋x2＋x＋1)＝x5－1，…运用上述规律，试求219＋218＋217＋
…＋23＋22＋2＋1的值．
解：设S＝219＋218＋217＋…＋23＋22＋2＋1，
则(2－1)S＝(2－1)(219＋218＋217＋…＋23＋22
＋2＋1)＝220－1，所以S＝220－1.针对训练
15．观察下列算式：32－12＝8＝8×1，52－32＝16＝
8×2，72－52＝24＝8×3，92－72＝32＝8×4，…(1)
仿照以上的等式，请另外再写出一个等式；(2)试用
代数式来表述你发现这些算式的规律；(3)说明你发
现的规律的正确性．
解：(1)112－92＝40＝8×5.(2)(2n＋1)2－(2n－
1)2＝8n(n为正整数)．(3)(2n＋1)2－(2n－1)2
＝(4n2＋4n＋1)－(4n2－4n＋1)＝8n.
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