4.2.2
用列举法求概率
【知识再现】
随机事件的概率计算公式为P(A)=_______.
【新知预习】阅读教材P127-131,归纳结论:
1.列表法求概率
当一次试验要涉及的因素有两个(我们也常称为两步操
作试验),我们常通过___________的方法列举所有可能
的结果,找出事件A可能发生的结果,再利用公式
___________求概率.
列表法
2.树状图求概率
当一次试验涉及___________________的因素时,列表
法就不方便了,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,
通常用_____________.
(1)使用条件:可能出现的结果较多、有限,各种结果出
现的可能性_________.
两个或两个以上
树状图法
均等
(2)适用范围:一次试验要涉及_____________________
因素.
(3)具体方法:先画出第一个因素产生的_____________,
再在第一步的每个可能结果的分支上画出____________
产生的可能结果,以此类推.
两个或两个以上的
可能性的结果
第二个因素
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.小芳和小丽是乒乓球运动员,在一次比赛中,每人只
允许报“双打”或“单打”中的一项,那么至少有一人
报“单打”的概率为 ( )
A. B. C. D.
D
2.小明和小华参加社会实践活动,随机选择“打扫社区
卫生”和“参加社会调查”其中一项,那么两人同时选
择“参加社会调查”的概率为 ( )
A. B. C. D.
A
知识点一 用列表法求概率(P127“动脑筋”拓展)
【典例1】(2019·昆明模拟)有两个可以自由转动的
均匀转盘A,B都被分成了3等份,并在每一份内均标有
数字,如图所示,规则如下:
①分别转动转盘,其中A转盘指针对着的数字记为横坐
标,B转盘指针对着的数字记为纵坐标;
②两个转盘停止后观察两个指针所指份内的数字(若指
针停在等分线上,则重转一次,直到指针指向某一份内
为止).
(1)用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能
的结果.
(2)张颖和刘亮想用这两个转盘做游戏,决定谁能获得唯一
一张2018年昆明“南博会”的门票,他们规定,两个指针所
得坐标在第二象限,张颖获得门票,两个指针所得坐标在坐
标轴上,刘亮获得门票.这个游戏公平吗?若不公平,谁获胜
的可能性大?
【思路点拨】(1)利用列表法表示出试验所有可能的结
果.
(2)游戏是否公平,需比较双方获胜的概率,概率不同,
则不公平.找出张颖获胜的概率和刘亮获胜的概率,比
较后即可得出结论.
【自主解答】(1)列表:
y
x -2 3 4
0 (0,-2) (0,3) (0,4)
2 (2,-2) (2,3) (2,4)
-3 (-3,-2) (-3,3) (-3,4)
(2)不公平,张颖获胜的情况有2种,
分别为(-3,3),(-3,4),∴P(张颖获胜)= ;
刘亮获胜的情况有3种,分别为(0,-2),(0,3),(0,4),
∴P(刘亮获胜)= .∵ ,
∴刘亮获胜的可能性大.
【学霸提醒】
列表法求概率的“三个步骤”
1.列表:分清一次试验所涉及的两个因素,一个为行标,
另一个为列标,制作表格.
2.计数:通过表格中的数据,分别求出某事件发生的数
量n与该试验的结果总数m.
3.计算:代入公式P(A)= .
【题组训练】
1.(2019·深圳龙岗区期中)在一个口袋中有4个完全
相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸出一
个小球不放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出小球
的标号之和为奇数的概率是 ( )
A. B. C. D.
B
★2.(2019·成都金牛区期末)现有三张分别标有数字
2、3、4的卡片,它们除了数字外完全相同,把卡片背面
朝上洗匀,从中任意抽取一张,将上面的数字记为a(不
放回);从剩下的卡片中再任意抽取一张,将上面的数字
记为b,则点(a,b)在直线y= x+ 图象上的概率为
________.
★3.学校团委在“五四”青年节举行“校园之星”颁
奖活动中,九(1)班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机
派两名代表参加此活动,则所选两名代表恰好是甲和乙
的概率是 ( )
A. B. C. D.
A
★★4.(2019·衡水桃城区月考)一个不透明的口袋中
有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4.
(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出小球标号是3”
的概率.
(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,
直接写出下列结果:
①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率
;
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的
小球的概率.
解: (1)∵共有4个小球,其中只有1个小球的标号
是3,∴“摸出小球标号是3”的概率是 .
(2)略
知识点二 用树状图求概率 (P130例2拓展)
【典例2】(2019·遵义期末)数学课上,老师拿了红,黄,蓝
三个除颜色不同外其余完全相同的杯子,首先杯口朝上,老
师叫一个同学进行游戏试验,蒙住该同学双眼,将3个杯子
随机放置后,由该同学将其中一个杯子翻为杯口朝下,由另
一个同学标记颜色,随后将杯子全部杯口朝下,再由该同学
第二次翻杯,记下该杯颜色,随后由全班同学进行同样操作.
(1)请用树状图或列表表示进行2次操作时的所有可能
情况.
(2)小刚和小聪打赌,如果两次翻杯颜色相同,则小刚胜,
若颜色不同,则小聪胜,这个游戏公平吗?说明理由.
【思路点拨】(1)首先根据题意画出树状图,然后由树
状图即可求得所有等可能的结果.
(2)由(1)即可求得颜色相同和不同的情况,再利用概率
公式求解即可求得答案.
【自主解答】(1)画树状图如下:
(2)由树状图知,共有9种等可能结果,其中小刚胜的结
果数为3,小聪胜的结果数为6,
∴小刚胜的概率为 ,小聪胜的概率为 ,
∵ ≠ ,
∴此游戏不公平.
【学霸提醒】
用树状图求概率的“四个步骤”
1.定:确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生
的结果.
2.画:列举每一环节可能产生的结果,得到树状图.
3.数:数出全部均等的结果数m和该事件出现的结果数n.
4.算:代入公式P(A)= 计算.
【题组训练】
1.某校举行以“激情五月,唱响青春”为主题的演讲
比赛,决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学,则
甲、乙同学获得前两名的概率是 ( )
A. B. C. D.
D
★2.用m,n,p,q四把钥匙去开A,B两把锁,其中仅有钥匙
m能打开锁A,仅有钥匙n能打开锁B,则“取一把钥匙恰
能打开一把锁”的概率是 ( )
A. B. C. D.
D
★★3.(2019·江苏盐城月考)若一个三位数的十位数
字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数
”.现由2,3,4这三个数字组成无重复数字的三位数.
(1)请画出树状图并写出所有可能得到的三位数.
(2)甲、乙二人玩一个游戏,游戏规则是:若组成的三位
数是“伞数”,则甲胜;否则乙胜.你认为这个游戏公平
吗?试说明理由.
略
【一题多解】
在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设
计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积
相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字).游戏
规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,
若指针所指区域内两数和小于12,则李燕获胜;若指针
所指区域两数和等于12,则为平局;若指针所指区域两
数和大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一
次,直到指针指向某一份内为止).
(1)请表示出游戏中两数和的所有可能的结果(两种方
法).
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率.
解:(1)方法一:(画树状图法)
画树状图如图:
可见,两数和共有12种等可能的结果.
方法二:(列表法)
略
【一题多变】
(2019·商洛商南一模)小明和小亮玩一个游戏:取三张
大小、质地都相同的卡片,上面分别标有数字2、3、4
(背面完全相同),现将标有数字的一面朝下.小明从中
任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任
意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和.
(1)请你用画树状图或列表的方法,求出这两数和为6的
概率.
(2)如果和为奇数,则小明胜;如果和为偶数,则小亮胜.
你认为这个游戏规则对双方公平吗?做出判断,并说明
理由.
【解题指南】(1)首先根据题意列表,然后根据表求得
所有等可能的结果与两数和为6的情况,再利用概率公
式求解即可.
(2)分别求出和为奇数、和为偶数的概率,即可得出游
戏的公平性.
解:(1)列表如下:
由表可知,总共有9种结果,其中和为6的有3种,
则这两数和为6的概率为 .
2 3 4
2 4 5 6
3 5 6 7
4 6 7 8
(2)这个游戏规则对双方不公平.
理由:∵P(和为奇数)= ,
P(和为偶数)= ,而 ≠ ,
∴这个游戏规则对双方是不公平的.
【母题变式】
【变式一】在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,
S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是_________.
【变式二】如图是两个转盘,每个转盘分成几个相等的
扇形,甲、乙两个人做游戏,游戏者同时转动两个转盘
一次,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,则甲赢,
否则乙赢.
(1)甲和乙获胜的概率分别是多少?
(2)这个游戏对双方公平吗?说说你的理由.
(3)如果你认为不公平,应怎样修改才能使游戏对双方
公平?
略
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