2020版八年级数学下册第1章直角三角形1-1直角三角形的性质与判定（Ⅰ）（第2课时）课件（湘教版）

1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第2课时 【知识再现】 1.直角三角形的两个锐角_________.  2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________.   互余   一半  【新知预习】阅读教材P4-6，归纳结论： 1.按要求画图： (1)画∠MON，使∠MON=30°， (2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K， 量一量PO，PK的长度，PO，PK有什么关系？ (3)在OM上再取点Q，R，分别过Q，R作ON的垂线QD，RE ，垂足分别为D，E，量一量QD，OQ，它们有什么关系 ？量一量RE，OR，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？ 直角三角形中，如果有一个锐角等于_________， 那么它所对的___________等于_______________.   30°   直角边   斜边的一半  2.探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边为什么等于斜边的一半. 如图，Rt△ABC中，∠A=30°， BC为什么会等于 AB？ 证明：取AB的中点D，连接CD，则AD=BD， 因为CD为Rt△ABC斜边的中线， 所以_____________.  又因为∠A=30°，所以∠B=_________，   CD= AB   60°  所以△CDB为_________三角形，  所以BC=_______，  所以BC=_________.  得出结论：___________________________________ _________________________________________.   等边   CD    AB   在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.(2019·天津河西区模拟)如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=10，∠A=30°，则AC的长度为 (   )D A.8 B.12 C.10 D.10 2.(2019·长沙天心区期末)如图，一棵树在一次强台 风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30° 夹角，这棵树在折断前的高度为 (   )C A.4米 B.8米 C.12米 D.(3+3 )米 3.(2019·南通市海安县期末)在△ABC中，∠ACB=90°， CD是斜边AB上的高，∠A=30°，以下说法错误的是 (   )A A.AD=2CD B.AC=2CD C.AD=3BD D.AB=2BC 知识点一 含30°角的直角三角形性质的应用 (P4动脑筋拓展) 【典例1】如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8， CD⊥AB于点D.求BC，AD的长. 【自主解答】∵∠ACB=90°，∠B=2∠A， ∴∠B=60°，∠A=30°， ∴BC= AB=4， ∵CD⊥AB，∠B=60°， ∴∠DCB=30°， ∴BD= BC=2， ∴AD=AB-BD=8-2=6. 【学霸提醒】 含30°角的直角三角形性质的“两种应用” 1.证明：用来证明三角形中线段的倍分问题. 2.求解：知道30°角所对的直角边的长，求斜边的长， 或知道斜边的长，求30°角所对的直角边的长. 【题组训练】 1.(2019·河池期末)如图，在△ABC中， ∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点， DE⊥BC于E，若BE=1， 则AC的长为(   )                    C A.2 B. C.4 D.2 ★2.(2019·长春南关区期末)如图，在△ABC中， ∠C=90°，∠B=30°，AC=3.若点P是BC边上任意一 点，则AP的长不可能是 (   ) A.7 B.5.3 C.4.8 D.3.5 A ★3.(2019·北京东城区期末)如图，在△ABC中， ∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平 分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为 世纪金 榜导学号(   ) A.2 B.4 C.6 D.8 C ★★4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE 垂直平分线段AC. 世纪金榜导学号 (1)求证：△BCE是等边三角形. (2)若BC=3，求DE的长. 解：(1)在△ABC中， ∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-30°=60°. ∵DE垂直平分AC， ∴EC=EA，∴∠ECA=∠A=30°， ∴∠BEC=60°， ∴△BCE是等边三角形. (2)由(1)得，EC=BC=3， 在Rt△ECD中，∵∠ECD=30°， ∴DE= EC= ×3= . 知识点二 直角三角形性质的综合应用 (P5例3拓展) 【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC， 点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D， G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE. 【自主解答】∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，FD⊥BC， ∴∠BED=∠FDC=90°， ∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°， ∴∠1=∠3， ∵G是直角三角形FDC的斜边中点， ∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2， ∵∠FDC=∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠4=90°， ∴∠2+∠FDE=90°， ∴GD⊥DE. 【学霸提醒】 直角三角形性质的应用及注意事项 1.性质应用： 30°角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊 度数的角(30°或60°)的特殊定理，反映了直角三角 形中边角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中 的有关计算或证明问题. 2.两点注意： (1)必须在直角三角形中，非直角三角形不具备该性质. (2)只有30°的角所对的直角边等于斜边的一半，其他 度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系. 【题组训练】 1.(2019·哈尔滨香坊区期末)如图， 在等边△ABC中，AD=BD，过点D作 DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E， 若AF=6，则线段BE的长为_______. 世纪金榜导学号  15  ★2.(2019·合肥瑶海区期末)如图，在△ABC中， AB=AC=2，∠B=75°，则点B到边AC的距离为______.  1  ★★3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是直角边AC 上的点，且AD=BD=2a，∠A=15°，求BC边的长.世纪金 榜导学号 解：由AD=BD可推出∠2=∠A=15°， 所以∠1=∠2+∠A=15°+15°=30°. 在Rt△BCD中，∠1=30°， 可推出BC= BD= ×2a=a. 【火眼金睛】 如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°， ∠C=60°，CD=4 cm，求BC的长. 【正解】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°， 又∵∠A=120°，∴∠ABC=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=30°， ∵∠C=60°，∴∠BDC=90°， ∴BC=2CD=2×4=8(cm). 【一题多变】 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且 DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证： DF=2DC. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°-∠EDC=30°， ∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形. ∴ED=DC， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=2CD. 【母题变式】 (变换问法)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在 边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线 于点F，求∠F的度数. 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°-∠EDC=30°.