2020版八年级数学下册第1章直角三角形1-2直角三角形的性质与判定（Ⅱ）（第1课时）课件（湘教版）

1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第1课时 【知识再现】 直角△ABC的主要性质是：∠C=90°(用几何语言表示) (1)两锐角之间的关系：_________________.  (2)若D为斜边中点，则斜边中线_____________.  (3)若∠A=30°，则∠A的对边和斜边的关系： _____________.   ∠A+∠B=90°   CD= AB   BC= AB  【新知预习】阅读教材P9-P11，归纳结论： 1.同学们画一个直角边为3 cm和4 cm的直角△ABC，用 刻度尺量出AB的长. 2.再画一个两直角边为5 cm和12 cm的直角△ABC，用 刻度尺量AB的长. 问题：你是否发现32+42与52，52+122和132的关系，即 32+42______52，52+122______132，  =   =  由此我们可以得出什么结论？可猜想： 如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么____________.  a2+b2=c2  3.勾股定理的证明 已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边 为a，b，c. 求证：a2+b2=c2 证明：4S△+S小正=c2；S大正=c2 根据的等量关系：a2+b2=c2 由此我们得出勾股定理的内容是：_______________ ______________________________________.   直角三角形两 直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼 成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地 利用面积关系证明了勾股定理.已知小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边分别为a，b且ab=6，则图中 大正方形的边长为 (   )B A.5  B. C.4  D.3 2.(2019·揭西县期末)游泳员小明横渡一条河，由于 水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结 果他在水中实际游了100米，这条河宽为___米.80 知识点一 勾股定理的证明及应用 (P10探究及P11例1拓展) 【典例1】如图是美国总统Garfield于1896年给出的一 种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗 ？请写出你的证明过程.(提示：如图三个三角形均是 直角三角形) 【自主解答】∵ (a+b)(a+b)=2× ab+ c2， ∴(a+b)(a+b)=2ab+c2， ∴a2+2ab+b2=2ab+c2， ∴a2+b2=c2. 【学霸提醒】 证明勾股定理的三个步骤 1.读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成，图中 包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是 多少. 2.列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积 和，列出关于直角三角形三边长的等式. 3.化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理. 【题组训练】 1.小明将4个全等的直角三角形拼成如图 所示的五边形，添加适当的辅助线后， 用等面积法建立等式证明勾股定理.小明 在证题中用两种方法表示五边形的面积， 分别是S1=_________，S2=____________.  c2+ab   a2+b2+ab  ★2.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三 角形.已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的 直角边为b，斜边长为c.如图②，现将这四个全等的直 角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线) 的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积为 世纪金 榜导学号(   )C A.6 B.12 C.24 D.24 ★3.(2019·邵阳中考)公元3世纪初，中国古代数学家 赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图， 设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是______. 世纪金榜导学号   4  知识点二 勾股定理的实际应用 (P12动脑筋及例2拓展) 【典例2】(2019·临安区期末)如图，一架长5米的梯 子A1B1斜靠在墙A1O上，B1到墙底端O的距离为3米，此 时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向 墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工 作要求，那么梯子的A1端向上移动了________米. 世纪金榜导学号   0.8  【学霸提醒】 勾股定理的实际应用的一般步骤 1.读懂题意，建立数学模型. 2.分析数量关系，数形结合，正确标图，将已知条件 体现到图形中，充分利用图形的功能和性质. 3.应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程 求解. 4.解决实际问题. 【题组训练】 1.如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上， 固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm 至D点，则橡皮筋被拉长了 (   ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm  D.5 cm A ★2.有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距 8 m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢， 问小鸟至少飞行 世纪金榜导学号(   ) A.8 m   B.10 m  C.12 m  D.14 m B ★3.(2019·海州区期末)如图，一圆柱形容器(厚度忽 略不计)，已知底面半径为6 cm，高为16 cm，现将一 根长度为28 cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露 在容器外的长度的最小值是______cm.  8  ★★4.如图所示，OA⊥OB，OA=45 cm，OB=15 cm，一 机器人在点B处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向 做匀速直线运动，机器人自BC方向以与小球同样的速 度前进拦截小球，在点C处正好截住了小球，求机器人 行走的路程BC.世纪金榜导学号 解：设BC=AC=x cm， 则OC=OA-AC=45-x， 在Rt△OBC中，152+(45-x)2=x2， 解得x=25. 所以BC=25 cm， 所以机器人行走的路程BC为25 cm. 【火眼金睛】 已知直角三角形的三边长为6，8，x，则以x为边长的 正方形的面积为______. 【正解】①当x为直角三角形斜边时，由勾股定理得： 62+82=x2，即x2=100， ∵正方形的边长为x，∴其面积为x2=100. ②当x为直角三角形直角边时，由勾股定理得： 62+x2=82，即x2=28， ∵正方形的边长为x，∴其面积为x2=28. 答案：100或28 【一题多变】 如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工 进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520 m， ∠D=30°.那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C， E三点在一条直线上( 取1.732，结果取整数)？ 解：∵∠ABD=120°，∠D=30°， ∴∠AED=120°-30°=90°， 在Rt△BDE中，BD=520 m，∠D=30°，∴BE=260 m， ∴DE= =260 ≈450(m). 答：另一边开挖点E离D 450 m，正好使A，C，E三点 在一条直线上. 【母题变式】 如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏 东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行 100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方 向上，AD⊥BC于点D，求AD的长. 世纪金榜导学号 解：由题意知，∠ABD=30°，∠ACD=60°. ∴∠CAB=∠ABD， ∴BC=AC=100海里. 在Rt△ACD中，设CD=x海里， 则AC=2x海里， ∵AC=100海里， ∴CD=x=50海里. ∴AD= = =50 (海里).