2020版八年级数学下册第1章直角三角形1-2直角三角形的性质与判定（Ⅱ）（第2课时）课件（湘教版）

1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第2课时 【知识再现】 1.如果一个三角形两边的平方和_________第三边的平 方，那么这个三角形就是_________三角形.  2.如果三角形的三边长a，b，c，满足____________， 那么这个三角形是_________三角形.   等于   直角   a2+b2=c2   直角  【新知预习】阅读教材P14-15，归纳结论： 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c 满足关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是___________ _____.  2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个___________.   直角三角 形   正整数  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.(2019·滨海县期末)下列各组数中，是勾股数的是 (   ) A.1、2、3    B.3、4、5 C.12、15、18 D.1、 、3 B 2.如果a，b，c是一个直角三角形的三边，则a∶b∶c 可以等于 (   ) A.1∶2∶4 B.2∶3∶4 C.3∶4∶7 D.5∶12∶13 D 知识点一 勾股数及其应用(P15例3拓展) 【典例1】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形， 称3，4，5为勾股数组，记为(3，4，5)，类似地，还 可得到下列勾股数组：(8，6，10)，(15，8，17)， (24，10，26)等. (1)根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数. (2)用含n(n≥2且n为整数)的数学等式描述上述勾股数 组的规律，并证明. 【自主解答】(1)四组勾股数的规律是：32+42=52， 62+82=102，82+152=172，102+242=262， 即(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2， 所以第六组勾股数为48，14， 50. (2)勾股数为n2-1，2n，n2+1，证明如下： (n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2. 【学霸提醒】 判断三个数是否是一组勾股数的“三步法” 1.判断：这三个数是不是正整数，不是正整数则不是 勾股数. 2.计算：计算最大数的平方与其他两个数的平方和. 3.比较：若最大数的平方等于另外两个数的平方和， 则是勾股数，否则不是. 【题组训练】 1.下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9， 12，15；④n2-1，2n，n2+1(n是大于1的整数)，其中是 勾股数的有(   )                   A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 D ★2.给出下列命题 ①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一 组勾股数； ②如果直角三角形的三边中两边长为3和4，那么另一 边长的平方必是25； ③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么三角 形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中 a是斜边长，那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1. 其中正确的是 世纪金榜导学号(   ) A.①②   B.①③   C.①④   D.②④ C ★★3.观察下列各式：32+42=52；82+62=102； 152+82=172；242+102=262；…；你有没有发现其中的规 律？请用你发现的规律写出下一个式子. 世纪金榜导 学号 解：观察等式的规律，可分别观察等式的左边：第一 个底数分别为：3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1， 第n个式子的第一个底数为(n+1)2-1，第二个底数是4， 6，8，…连续的偶数.右边的底数是比左边的第一个底 数大2的数，根据规律即可写出下一个式子是： 352+122=372. 知识点二 勾股定理的逆定理的应用(P15例4拓展) 【典例2】为了丰富少年儿童的业余生 活，某社区要在如图中的AB所在的直线 上建一图书室，本社区有两所学校所在 的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB 于点B.已知AB=2.5 km，CA=1.5 km，DB=1.0 km，试问： 图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学 校的距离相等？ 【自主解答】由题意可得：设AE=x km， 则EB=(2.5-x)km， ∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE， ∴AC2+AE2=BE2+DB2， ∴1.52+x2=(2.5-x)2+12， 解得：x=1. 答：图书室E应该建在距点A 1 km处，才能使它到两所 学校的距离相等. 【学霸提醒】 勾股定理的逆定理判定直角三角形的“三步法” 【题组训练】 1.小亮在某公园里测得一个三角形花坛的三边长分别 是12 m，5 m，13 m，则该花坛的面积是 (   )                   A.65 m2 B.78 m2 C.60 m2 D.30 m2 D ★2.(2019·抚宁区期末)已知△ABC的三个角是∠A， ∠B，∠C，它们所对的边分别是a，b，c.①c2-a2=b2； ②∠A= ∠B= ∠C；③c= a= b；④a=2， b=2 ，c= .上述四个条件中，能判定△ABC为直角 三角形的有世纪金榜导学号(   )C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★3.已知a，b，c是△ABC的三边长且c=5，a，b满足关 系式 +(b-3)2=0，则△ABC的形状为_________三角 形.   直角  ★★4.已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm，D是腰AB 上一点，且CD=16 cm，BD=12 cm. 世纪金榜导学号 (1)求证：CD⊥AB. (2)求该三角形的腰的长度. 解：(1)∵BC=20 cm，CD=16 cm，BD=12 cm， ∴满足BD2+CD2=BC2，∴根据勾股定理逆定理可知， ∠BDC=90°，即CD⊥AB. (2)设腰长为x，则AD=x-12，由(1)可知 AD2+CD2=AC2，即(x-12)2+162=x2， 解得x= ， ∴腰长为 cm. 【火眼金睛】 已知：a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4 ，试判断△ABC的形状. 【正解】∵a2c2-b2c2=a4-b4， ∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2) ①当a2-b2≠0时，c2=a2+b2， ∴△ABC为直角三角形； ②当a2-b2=0时，a=b，∴△ABC为等腰三角形； 综上可得△ABC为等腰三角形或直角三角形. 【一题多变】 (2019·南山区期末)如图，在四边形ABDC中， ∠A=90°，AB=9，AC=12，BD=8，CD=17. (1)连接BC，求BC的长. (2)求△BCD的面积. 解：(1)∵∠A=90°，AB=9，AC=12， ∴BC= =15. (2)∵BC=15，BD=8，CD=17， ∴BC2+BD2=CD2，∴△BCD是直角三角形， ∴S△BCD= ×15×8=60. 【母题变式】 【变式一】(变换条件)在△ABC中，CD是AB边上的高， AC=4，BC=3，DB=1.8. 世纪金榜导学号 (1)求CD的长.(2)求AB的长. 解：(1)∵CD是AB边上的高，∴△BDC是直角三角形， ∴CD= =2.4. (2)同(1)可知△ADC也是直角三角形， ∴AD= =3.2， ∴AB=AD+BD=3.2+1.8=5. 【变式二】(变换条件和问法)在△ABC中，CD是AB边上 的高，AC=4，BC=3，DB=1.8. △ABC是直角三角形吗？请说明理由. 解：△ABC是直角三角形，理由如下： 由变式一得CD=2.4，AD=3.2，AB=5， ∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形.