八年级数学下册第2章四边形2-7正方形课件（湘教版）

2.7 正方形 1.掌握正方形的定义、性质和判定，并会用它们进行有 关的证明和计算. 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别. 定义 边 角 对 角 线 对 称 性 平行 四边 形 矩 形 菱 形 几种特殊四边形的定义及性质 对边平行 且相等 对边平行 且相等 对边平行， 四边都相 等 对角相等， 邻角互补 四个角 都是直角 对角相等， 邻角互补 对角线 互相平分 对角线相等 且互相平分 对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角 中心对 称图形 轴对称图 形、中心 对称图形 轴对称图 形、中心对 称图形 两组对边分 别平行的四 边形 有一个角是 直角的平行 四边形 一组邻边 相等的平行 四边形 矩形正方形 〃 〃 矩形怎样变化后就成了正方形 呢? 探究（一） 菱 形 ∟ ∟ ∟∟ 正方形 菱形怎样才能变形为正方形呢? 探究（二） 矩 形 〃 〃 正方形邻边 相等 〃 〃 发现： 一组邻边相等的矩 形是正方形 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 发现： 一个角为直角的菱 形是正方形 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 正方形性质 边 角 对角线 对称性 图 形 语 言 文 字 语 言 符 号 语 言 A C D\ B A C D B A C D B \ \ \ ∟ ∟ ∟ ∟ O \ \ \ \ ∟ 对边平行， 四条边都相等 四 个 角 都是直角 对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角 因为四边形ABCD 是正方形 所以AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD 因为四边形ABCD 是正方形 所以∠A=∠B=∠C =∠D=90° 因为四边形ABCD是正方 形，所以AC⊥BD,AC= BD,OA=OB=OC=OD, ∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8 轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形 1 2 3 4 5 6 7 8 正方形是轴对称图 形，它的对称轴是 什么？ 【跟踪训练】 根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√” 平行四 边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱 形的性质。 √ √ 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全 等的等腰直角三角形. △DAO都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. A B C D O 例1 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对 角线AC、BD相交于点O， 证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AC=BD，AC⊥BD， AO=BO=CO=DO. 所以△ABO、△BCO、△CDO、 【例题】 例2：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证：EC=EF=FB A B C D E F ┌ 证明：因为 四边形ABCD是正方形 所以∠B=90°，∠ACB=45°， 因为∠AEF=∠B =90°，AB=AE，AF=AF， 所以△ABF≌△AEF（HL）， 所以BF=EF， 又因为∠FEC=90° 所以∠EFC=45°， 所以EC=EF（等角对等边）， 所以BF=EF=EC . 【例题】 （红河·中考）如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点 （G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两 点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2， 请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论. 【跟踪训练】 【解析】根据题目条件可判断DE∥BF. 证明如下： 因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=AD， 因为AF=AE+EF，又AF=BF+EF, 所以AE=BF, 因为∠1=∠2，所以△ABF≌△DAE（SAS）. 所以∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE. 因为∠BAF+∠2=90°, 所以∠ADE+∠2=90°，所以 ∠BAF+ ∠1=90° 所以∠AED=∠BFA=90°, 所以DE∥BF. 一组邻边 相等 有一个内 角是直角 一组邻边 相等 有一个内角 是直角 正方形的判定 一组邻边相等且 有一个角是直角 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ 12 3 例3 已知:正方形ABCD中,点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上,且 AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?并证明你的结论. 【例题】 证明：四边形EFGH是正方形， 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=AD=DC=BC． 又因为AE=BF=CG=DH， 所以AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF， 即BE=AH=DG=CF， 所以△AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．所以EH=HG=FG=EF， 因为∠1=∠3．又∠3+∠2=90°所以∠1+∠2=90°． 所以四边形EFGH是正方形． 1.ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E ，经测EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多 少？ A D B C E 【解析】 连接AC. 因为四边形ABCD是正方形 所以∠B=90°，AB=BC 因为EC=50m，EB=30m 所以 S正方形ABCD=(40 m)2=1600(m2) 所以 所以 【跟踪训练】 2.在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两 条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑 道路的宽度).你有几种方法？ 解析：有无数方法，只要两直线垂直且交点在正方形的对角 线交点处即可. 平行四边形 矩形 菱形正 方 形 3.你能用恰当的方式表示出平行四边形、矩形、菱形、 正方形之间的包含关系吗？ 解析： 1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( ) （A）一组邻边相等的矩形是正方形 （B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形可能是矩形， 也可能是正方形. 2.（苏州·中考）如图，四边形 ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC， 则∠BCE的度数是_______°. 【解析】因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CAE=45°，∠ABC=90°, 又因为AE=AC,所以∠E=∠ACE=67.5°, 所以∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°. 答案：22.5 3.(宜宾·中考）如图，点P是正方形ABCD的对角线 BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF,给出 下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等 腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC.其中正确结 论的序号是_____. 【解析】延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，交EC于点M， 由题意易证，△BPE、△DPF为等腰直角三角形，四边形PECF 为矩形，四边形BEPG为正方形. 易证△APG≌△FEP, 所以AP=EF，∠BAP=∠PFE，又PE∥FC, 所以∠PFE=∠FEC=∠BAP, 又∠BAP+∠BMA=90°，所以∠FEM+∠BMA=90°， 所以∠EHM=90°即AP⊥EF. 在等腰直角三角形PDF中, PD= PF= EC. 答案：①②④⑤ 4.如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边 长均为4，O是正方形ABCD的旋转对称中 心，则图中阴影部分的面积是______. 【解析】连接OC,OD.易证图中阴影部分 的面积等于△COD的面积,即正方形面积 的四分之一,故阴影部分面积为4. 答案：4 5.（滨州·中考)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别 是AB、BC、CD、DA的中点， （1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么. （2）要使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角 线应该有怎样的情况？ 【解析】（1）四边形EFGH是平行四边形. 连接AC, 因为E、F分别是AB、BC的中点 所以EF∥AC，EF= AC 同理HG∥AC，HG= AC 所以EF HG, 所以四边形EFGH是平行四边形. （2）四边形ABCD的对角线互相垂直且相等. 通过本课时的学习，需要我们 1.掌握正方形的定义、性质、判定. 2.了解正方形、矩形、菱形、平行四边形间的关系，认识 它们之间的联系和区别. 3.能综合利用正方形的性质与判定解决有关的证明与计算. 一、正方形的定义： 直角 相等 平行且相等 相等 垂直平分 一组对角 中心 轴 4 菱形 矩形 矩形 菱形 相等 直角 天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋 骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。 ——《孟子•告子下》