八年级数学下册第2章四边形2-6菱形2-6-1菱形的性质课件（湘教版）

2.6 菱形 2.6.1 菱形的性质 A B C DO 1.掌握菱形的概念，知道菱形与平行四边形的关系.了解 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形. 2.理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有 关的证明和计算，会计算菱形的面积. 一组邻边相等的平行四边形叫作菱形； AB=BC 四边形ABCD是菱形□ABCD 菱形的定义 小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗 ？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一 个菱形的纸片？ 已知四边形ABCD是菱形 1.图中有哪些相等的线段？ 2.图中有哪些相等的角？ 3.图中有哪些等腰三角形？ 4.图中有哪些直角三角形？ 5.菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什 么？对称轴间有什么关系？ A B C D O 1 2 3 45 6 7 8 已知四边形ABCD是菱形 1.相等的线段： AB=CD=AD=BC， OA=OC ，OB=OD A B C D O 1 2 3 45 6 7 8 ∠DAB=∠BCD， ∠ABC =∠CDA ， ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°， ∠1=∠2=∠3=∠4 ，∠5=∠6=∠7=∠8 2.相等的角： A B C D O 1 2 3 45 6 7 8 3.等腰三角形有： △ABC，△DBC，△ACD，△ABD A B C D O 1 2 3 45 6 7 8 4.直角三角形有： Rt△AOB， Rt△BOC，Rt△COD，Rt△DOA A B C D O 1 2 3 45 6 7 8 5.菱形是轴对称图形，有两条对称轴，为两条对角线所在直 线，两条对称轴垂直. A B C D O 菱形的性质： （1）菱形的对边相等，对角相等，对角线互相平分； （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一 组对角； （4）菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线都是它 的对称轴； （5）菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC. 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 证明：因为四边形ABCD是菱形， A B C D O 在△ABD中，又因为BO=DO， 所以AB=AD（菱形的四条边都相等） 所以AC⊥BD，AC平分∠BAD， 命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线 平分一组对角. 同理：AC平分∠BCD；BD平分 ∠ABC和∠ADC. 上述的命题也是一个定理. 菱形的两条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等 边 对角线 角 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对 角线平分一组对角. A D C B O 菱形的性质 【菱形的面积公式】 菱 形 A B C DO E S菱形=BC·AE 思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算 菱形的面积吗? =S△ABD+S△BCD= AC×BD S菱形ABCD 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半 A B C DO 【例题】 【解析】 【跟踪训练】 【解析】 答案： 【解析】 答案： 【证明】 1.（陕西·中考）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两 条对角线的平方和为（ ） (A)16 (B)8 (C)4 (D)1 【解析】选A.设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱 形对角线互相垂直且平分，则 即a2+b2=16. 【解析】 【解析】 4.如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、 CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( ) （A） （B） （C） （D）3 【解析】选B.连接AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC. 又因为∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形.因为E是BC的中 点，所以AE⊥BC.同理，AF⊥CD.易证得△ABE≌△ADF，所以 AE=AF.因为AB∥CD，∠B=60°,所以∠C=120°.又因为CE=CF, 所以∠CEF＝30°，所以∠AEF＝60°，所以△AEF是等边三角 形.由勾股定理得 所以△AEF的周长为 5.（嘉兴·中考）如图，已知菱 形ABCD的一个内角∠BAD=80°,对角 线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且 BE=BO，则∠AOE=____. 【解析】在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∠BAC= ∠BAD=40°， 得∠ABD=50°，由BE=BO， 得∠BOE=∠BEO=65° 所以∠AOE=25° 答案:25° 6.（珠海·中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点， PE⊥AB于点E，PE=4 cm，则点P到BC的距离是____cm. 【解析】菱形对角线平分一组对角，且角平分线上的点 到角两边的距离相等，故点P到BC的距离是4 cm. 答案：4 7.（常德·中考）如图，已知四边形ABCD是菱形， DE⊥AB,DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF. 【证明】在△ADE和△CDF中，因为四边形ABCD是菱形， 所以∠A=∠C,AD=CD.又DE⊥AB,DF⊥BC, 所以∠AED=∠CFD=90°. 所以△ADE≌△CDF. 【解析】 9.（郴州·中考）一种千斤顶利用了四边形的不稳定 性.如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接， 转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而 改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40 cm, 当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？ （ ≈1.414, ≈1.732，结果保留整数） 【解析】连结AC，与BD相交于点O， 因为四边形ABCD是菱形, 所以AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO. 当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形. 所以AC=AD=AB=40. 当∠ADC=120°时， ∠ADO=60°，∠OAD=30°,又AD=40,所以OD=20. 通过本课时的学习，需要我们 1.掌握菱形的定义、性质. 2.会利用菱形的对角线求菱形的面积. 3.会应用菱形的知识解决有关计算和证明的问题. 少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日 中之光；老而好学，如炳烛之明。 ——刘向