八年级数学下册第2章四边形2-1多边形课件（湘教版）

第2章 四边形 2.1 多边形 1.通过具体情境了解多边形的概念，掌握四边形和多边 形的内角和，会利用多边形的内角和进行计算. 2.通过多边形内角和公式的推导过程，培养学生的发散 思维能力，逐步提高推理的能力. 3.了解多边形外角和的概念、掌握多边形外角和公式. 4.了解正多边形的概念;了解四边形的不稳定性及生活中 的应用. 广场中心的边缘 是一个五边形， 小明沿五边形的 边缘跑一周，一 共会转过多少度 呢？本节课我们 将共同来探究多 边形的内角和和 外角和问题. 看一看 四边形 五边形 六边形 八边形 …… 三角形 顶点 内角 边 对角线 (连接不相邻两个顶点的线段) 这 里 所 说 的 多 边 形 都 指 凸 多 边 形 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 图 2图1 我们现在研究的是如图1所示的多边形，是凸多边形； 如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范 围内.今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形. 下面让我们共同来探求五边形的五个内角的和. A B C D E 我们知道，三角形的内角和等于______度,四边形的内 角和等于 度，那五边形的内角和呢？ 180 360 你能动手做一做吗? 你能想出几种不同的解法？ A B C D E 探究1 180°×3 = 540° 多边形 边数 图形 分成三角 形的个数 内角和 计算规律 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 … … … … … … 3 4 5 6 7 n 1 n-2 2 3 4 5 180° 360° 540° 720° 900° (n－2) ·180° (n－2) ·180° (7－2) ·180° (6－2) ·180° (5－2) ·180° (4－2) ·180° (3－2) ·180° E A B C D O 180°× 5 – 360°= 540° 探究2 A B C D E F 180°× 4 – 180° = 540° 探究3 A B C D E 180°+ 360° = 540° 探究4 2.如图：(1)作多边形过顶点A的所有对角线，并分别用字母表达出来。 (2)求这个多边形的内角和。 A B C D E F 1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形， 这个多边形是几边形？它的内角和是多少？ 答案：七边形 900° 解:(1)过顶点A的对角线共有三 条， 分别是AC、AD和AE. (2)这个多边形的内角和是： (6-2) · 180 = 720(度). 【跟踪训练】 解：由多边形的内角和公式可得: （n-2）·180 = 1440 (n - 2) = 8 n = 10 所以这是十边形。 十3.如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是___边形。 在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫作正多边形. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形 观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点？ （1）一个多边形的边都相等，它的内角 一定都相等吗？ （2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ （3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正 六边形、正八边形的内角分别是多少度？正n边形呢？ 菱形 （分别是60°，90°，108°，120°，135°， ） 矩形 不一定，如菱形. 不一定，如矩形. 2.若正n边形的一个内角是144度，则n=_______. 解：由多边形的内角和公式可得： (n -2) · 180 = 144n 180n – 360 = 144n 180n -144n=360 36n = 360 n = 10 10 1.如果十二边形的每一个内角都相等，那么每个内角是 ______度。150 【跟踪训练】 3.在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B︰∠C︰∠D=3︰4︰5,求 ∠B，∠C，∠D的度数. 解：设∠B，∠C，∠D的度数分别是3x, 4x, 5x度，由四 边形的内角和等于360度可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 所以 3x = 60 4x = 80 5x = 100 答：∠B，∠C，∠D的度数分别为60度，80度,100度. （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在上图中，你能求出1+2+3+4+5=?吗？你是 怎样得到的？ 4.问题解决 （1）小明每从一条街 道转到下一条街道时， 身体转过的角是哪个角 ？ A B C D E A' C' D' E' B' O2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 结论：(1)分别是1，2，3，4，5 (2)角度之和为360° (3)1，2，3，4，5的和等于360° 如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？ 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作 这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这 个多边形的外角和. 任意多边形的外角和都等于360° （1）还有什么方法可以推导出多边形的外角和公式？ （2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角 和的结论？ 例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它 是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，由题意得 （n-2)·180=360×3 解得 n=8 答:这个多边形是八边形. 【例题】 【解析】 答案： 【跟踪训练】 【解析】 【解析】 2.（自贡·中考）一个多边形截取一个角后，形成的另 一个多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是 ( ) （A）10 （B）11 （C）12 （D）以上都有可能 【解析】选D.设截去一个角后的多边形的边数为n，则有 (n-2)×180°=1 620°解得n=11， 由于多边形被截取一个角后有三种情况，一是边数减少一条， 二是边数不变，三是边数增加一条，所以多边形的边数可能 是10，11，12. 3.如图，能够利用下面图形说明n边形的内角和为 (n-2)·180°的有( ) （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 【解析】选D.探索多边形内角和的思路是把多边形划分 成三角形，利用三角形的内角和为180°求得，由图形作 法可知： 图①为n·180°-360°＝（n-2）×180°， 图②为(n-2)×180°, 图③为（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°, 图④为（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°. 4.（湛江·中考）如图，小林从P点向西直走12米后，向 左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共 走了108米回到点P，则α＝( ) （A）30° （B）40° （C）80° （D）不存在 【解析】选B.观察图形分析已知条件，不难看出小林实 际上围绕正多边形走了一周，并且该正多边形的边长是 12米，因为小林一共走了108米，即该正多边形的周长 是108米，所以其边数为9，因其外角和是定值360°， 故α＝ ＝40°，所以本题选B. 【解析】 答案： 【解析】 答案： 7.（宿迁·中考）如图，平面上两个正方形与一个正五 边形都有一条公共边，则∠α＝_________. 【解析】∠α＝360°-180°-108°＝72° 答案:72°. 8.（晋江·中考）将一块正五边形纸片（图①）做成一个 底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底 面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如 图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是________. 【解析】要做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖 纸盒，则AB,AD都与里面的正五边形的边垂直，所以 ∠BAD与正五边形的内角互补，∠BAD＝180°-108°＝ 72° 答案:72° 9.如图，∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F的度数之和为________. 【解析】如图，连结AD, 由∠3＝∠4，得∠1+∠2＝∠E+∠F, 所以∠BAF+∠B+∠C+∠EDC+∠E+∠F =∠5+∠B+∠C+∠6+∠1+∠2 =四边形ABCD的内角和＝360° 答案:360° 10.多边形的每个内角都等于它的相邻外角的6倍，试求 该多边形的边数. 【解析】设多边形的边数为n, 则(n-2)·180°=6×360°， 解得n=14. 本节课我们研究了多边形的定义及其内角和、外角和公 式. 1.多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)· 180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系. 2.多边形的外角及其外角和公式:多边形的外角和等于 360°. 求解有关多边形的角的计算题,有时直接应用外角和公 式会比较简便. 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种 学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳 定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机.