八年级数学下册第1章直角三角形1-4角平分线的性质课件（湘教版）

1.4 角平分线的性质 1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握 角平分线的作法和角平分线的性质. 2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌 握简单的角平分线在生产、生活中的应用. 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相 等的角.你有什么办法？ A O B C 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有 何关系？ 对折 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的 角，又该怎么办呢？ 观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC. 将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道 理吗？ B D A C E 【证明】 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知）， DC=BC（已知）， CA=CA（公共边）， ∴ △ACD≌ △ACB（SSS）， ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）， ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）. B D A C E 根据角平分仪的制作原理怎样作一 个角的平分线？（不用角平分仪或量角 器） 尺规作角的平分线 画法： 1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． 2.分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． 3.作射线OC． 射线OC即为所求． O A BN M C 证明:连接MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中    OM=ON，    MC=NC，    OC=OC， ∴△OMC≌△ONC(SSS)， ∴∠AOC=∠BOC， 即OC 是∠ＡＯＢ的平分线. 为什么OC是∠AOB的平分线? O A BN M C 将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折 痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕， 你能得出什么结论？ 猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究活动 证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）， ∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）， ∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）， 在△OPD和△OPE中  ∠DOP=∠EOP （已证），  ∠ODP=∠OEP （已证），    OP=OP  （已知）， ∴ △OPD≌△OPE(AAS)， ∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）. 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，求证: PD=PE. P A O B C E D 12 验证 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. P A O B C E D 1 2 角的平分线的性质    如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路 距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m，这个贸易市场 应建在何处？（比例尺为1︰20000） 【跟踪训练】 S D C S 【解析】 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，  ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）. 在Rt△QDO和Rt△QEO中   QO＝QO（公共边）， QD=QE（已知）， ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL），  ∴ ∠ QOD＝∠QOE， ∴点Q在∠AOB的平分线上 . 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ∵∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 结论 (1)∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB， ∴___________ (________________________________________). (2)∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE， ∴__________ (________________________________________________). A C D E B 1 2 ∠1= ∠2 DC=DE 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 【跟踪训练】 1.已知:如图,在△ABC中,AD是它 的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. B A E D C F 【证明】根据角的平分线的性质 得DE=DF，再根据HL证明 △BED≌△CFD,从而得到EB=FC. 2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转 站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 :( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 【解析】选D.由于没有限制在何处选址,故要求的 地址共有四处,在各自夹角的平分线上，即：A、B、 C、D各一处. A D C B 3.（宁德·中考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不 添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个 条件是：_______________，并给予证明. B D A E F c 【解析】解法一：添加条件：AE＝AF. 在△AED与△AFD中， ∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA. 在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）. 1.角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 时间是个常数，但对勤奋者来说，是 个“变数”.用“分”来计算时间的人比用 “小时”来计算时间的人时间多59倍. ——雷巴柯夫