八年级数学下册第1章直角三角形1-2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时课件（湘教版）

1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第2课时 1.能利用勾股定理解决实际问题. 2.理解立体图形中两点距离最短问题. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方． a b c A B C 如果在Rt△ ABC中，∠C=90°, 那么 c2 = a2 + b2 a b c A B C （1）求出下列直角三角形中未知的边． 6 10 AC B 8 A 15 C B 练 习 30° 2 2 45° 回答： ①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形哪条边最长？ （2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长． 1 m 2 m A CB D 【解析】在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知： 一个门框尺寸如图所示． ①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ A B C 1 m 2 m ∵木板的宽2.2米大于1米， ∴ 横着不能从门框通过； ∵木板的宽2.2米大于2米， ∴竖着也不能从门框通过． ∴ 只能试试斜着能否通过， 对角线AC的长最大，因此需 要求出AC的长，怎样求呢？ 【例1】有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用 一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？ （结果保留整数） 50dmA B CD 解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°, AB=BC=50 dm, ∴由勾股定理可知 【例题】 ∴圆的直径至少为71dm. 活 动 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成 直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出A，B两点间的距离吗？ （结果 保留整数） 【例2】一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC 为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移 0.4m吗？ D E 解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴ AC2+ BC2＝AB2， 2.42+ BC2＝2.52， ∴BC＝0.7m. 由题意得：DE＝AB＝2.5m， DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m. 在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°， ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，22+ CE2＝2.52， ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m. 答；梯子底端B不是外移0.4m. 练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙 AO上，这时AO为2.5米． ①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请 同学们: 猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数） 【例3】如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建 一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站 应建在离A站多少km处？ C A E B D解：设AE= x km， 根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2， BC2+BE2=CE2. 又 ∵ DE=CE， ∴ AD2+AE2= BC2+BE2， 即 152+x2=102+（25-x)2， 答：E站应建在离A站10km处. ∴ X=10. 则 BE=（25-x）km. 15 10 【例4】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的 问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的 正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如 果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这 个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A BC解:设水池的深度AC为X尺, 则芦苇高AD为 (X+1)尺. 根据题意得: BC2+AC2=AB2， ∴52+X2 =(X+1)2， 25+X2=X2+2X+1， X=12， ∴X+1=12+1=13(尺). 答:水池的深度为12尺,芦苇高为13尺. 【例5】矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知 AB=8，BC=10，求折痕AE的长. A B C D F E 解:设DE为X, X (8- X) 则CE为 (8－ X). 由题意可知:EF=DE=X, X AF=AD=10. 10 108 ∵∠B=90°， ∴ AB2+ BF2＝AF2， 82+ BF2＝102， ∴BF＝6， ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4. 6 4 ∵∠C=90°， ∴ CE2+CF2＝EF2 (8－ X)2+42=X2 64 －16X+X2+16=X2 80－16X=0 16X=80 X=5 【例6】 如图，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（  ）. （A）3 （B ) （C）2 （D）1 A B A BC 2 1 分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）. B 活 动 如图，分别以Rt △ABC三边为边向外 作三个正方形，其面积分别用S1、S2、 S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的 关系式 ． 变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？ S1 S2S3 2.一架5米长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距 离墙的底端3米，若梯子顶端下滑了1米,则梯子底端将外移_____. 3.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺 地毯，地毯的长度至少需________米 A B C 1米 7 B 1.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜 边（ ） A.不变 B.扩大到原来的3倍 C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3 4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高___________米. 15 5．在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A ，∠ B， ∠C 的对边分别为 a,b,c. (1) 已知: a=5, b=12, 求c. (2) 已知: b=6,c=10 , 求a. (3) 已知: a=7, c=25, 求b. (4) 已知: a=7, c=8, 求b . 6 ．一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连 续整数，求这个直角三角形的周长． c=12. a=8. b=24. b= 答：周长为56 7．如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂， 树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多 高？ 4米 3米 答：这棵树折断前有9米高. 8.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去， 又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚 好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 解:设竹竿长X米,则城门高为 (X－1)米. 根据题意得: 32+ (X－1) 2 =X2， 9+X2 －2X+1=X2， 10 －2X=0， 2X=10， X=5， 答:竹竿长5米. 本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用,关键是将 实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答. 将来的你，一定会感谢现在拼命的你