八年级数学下册第1章直角三角形1-2直角三角形的性质和判定Ⅱ第1课时课件（湘教版）

1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第1课时 1.掌握勾股定理的内容. 2.理解勾股定理的证明. 3.应用勾股定理进行有关计算与证明. 星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,同学 们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰高约为900 米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条 缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米, ∠ACB=90°, 请问缆车路线AB长应为多少？ 读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直 角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国 时期的数学家赵爽作出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标 志着中国古代的数学成就.         图1-1 图1-2 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系． 我们也来观察图中的地面， 看看能发现些什么？ 数学家毕达哥拉斯的发现： A、B、C的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？ SA+SB=SC 两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 图2 让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系 A的面 积(单 位面积 ) B的面 积(单 位面积 ) C的面 积(单 位面积 ) 图1 图2 9 9 18 4 4 8 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 图2 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 图2 把C“补” 成边长为6的正方形 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 图2 SA+SB=SC A的面 积(单 位面积 ) B的面 积(单 位面积 ) C的面 积(单 位面积 ) 图1 9 9 18 图2 A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系 4 4 8 两直角边的平方和 等于斜边的平方 A B C 图1 A B C 图2 1.观察右边两个图并填写 下表： A的面积 B的面积 C的面积 图1 图2 16 9 25 4 9 13   你是怎样得到 表中的结果的？与 同伴交流交流． 做 一 做 A B C 图1 A B C 图2 2．如图,三个正方形A， B，C面积之间有什么关 系？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的 正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面 积． 议 一 议 A B C a cb SA+SB=SC 3.设直角三角形的三边长分别是a，b，c，猜想:两直角边 a，b与斜边c 之间的关系？ a2+b2=c2 这是2002年国际数学家大会会标 赵爽弦图 ∵ ab×4+(b-a)²=c²， ∴a²+b² =c². a bc 即2ab+（b²-2ab+a²）=c²， 此结论被称为“勾股定理”. 在Rt△ABC中，∠C=90° ， 边BC，AC，AB所对应的边分别 为a，b，c,则存在下列关系， 结论： 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的 平方. a2+b2=c2. 勾 股 弦 ca b B C A 如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理 ∵ ∠C＝90°， ∴ a2 + b2 = c2. ca b B C A 勾股定理的运用1:   已知直角三角形的任意两条边长，求第 三条边长. a2=c2-b2 b2=c2-a2 c2=a2+b2 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的 边分别为a，b，c. (1)已知a=1，b=2，求c. (2)已知a=10，c=15，求b. A C B b a c 例：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离. C A B 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°. ∵BC=2 ，AC=5， ∴AB2= AC² - BC² = 5²-2² =21， ∴ AB= （米）（舍去负值）. 【跟踪训练】 3.在等腰Rt△ABC中, a=b=1,则c=＿＿＿ C A B 第3题图 第4题图 a b c C B A 5.在一个直角三角形中, 两边长分别为3，4, 则第三边的长为________5 或 4.在Rt△ABC中, ∠A=30°，AB=2，则BC= ＿＿ AC=＿＿＿ 1 6.求下列图中表示边的未知数x，y，z的值. ① 81 144 x y ② 625 576 x=15 y=7 D A B C 7.蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，最少一共爬了多少厘米？ （小方格的边长为1厘米） G F E 3 4 12 5 6 8 答：最少一共爬了28厘米 【解析】选D.∵∠B=30°,AC⊥AB,AC=5米,所以BC=10米， 米. 大树折断前的高度为AC+BC=15(米). 3.如图所示，一棵大树在一 次强台风中离地面5米处折 断倒下，倒下部分与地面 成30°角，则这棵大树在 折断前的高度和AB的长分 别为（ ） （A）10米， 米 （B）15米， 米 （C）10米， 米 （D）15米， 米 4.(广东·中考）如图（1），已知小正方形ABCD的面积 为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方 形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图 （2））；···以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为 __________. 图（1） A1 B1 C1 D1 A B CD D2 A2 B2 C2 D1 C1 B1A1 A B CD 图（2） 【解析】由勾股定理得：新正方形A1B1C1D1边长为 ，正 方形A2B2C2D2边长为5，···，正方形A4B4C4D4的边长为25， 正方形A4B4C4D4的面积为625. 答案：625 5.（宜宾·中考）已知，在△ABC中，∠A=45°， AB= +1，则边BC的长为____. 【解析】过点C作CD⊥AB, ∵∠A=45°,∴AD=CD, ∴2AD2=AC2=2, ∴DC=AD=1, ∴BD=AB-AD= +1-1= 在Rt△CDB中， 答案：2 6.请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及 符号语言叙述）； 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底， 以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾 股定理. 【解析】［定理表述］如果直角三角形的两直角边长分 别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2, 证明： ∵Rt△ABE≌Rt△ECD,∴∠AEB=∠EDC, 又∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°, ∴∠AED=90°. ∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED， ∴ （a+b)(a+b)= ab+ ab+ c2. 整理，得a2+b2=c2. 通过本课时的学习，需要我们 1.掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方. 2.理解勾股定理的证明过程. 3.应用勾股定理计算线段的长度.注意使用勾股定理的 前提条件是在直角三角形中. 理想是指路明灯.没有理想，就没有坚定 的方向，而没有方向，就没有生活. —— 托尔斯泰