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第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
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1.理解一元二次方程的概念；(重点)
2.了解一元二次方程的一般形式； (重点)
3.经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点）
学习目标
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1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际
问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
导入新课
回顾与思考
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问题1 某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，
计划2016年无公害蔬菜的产量比2014年翻一翻，要实现这一
目标，2015年和2016年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是
多少？
思考：
1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？
方程
一元二次方程及其一般形式一
讲授新课
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2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2014年
的产量为a，那么2015年无公害蔬菜产量为 ，
2016年无公害蔬菜产量为 .
a+ax=a(1+x
)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2
3.你能根据题意，列出方程吗？
a(1+x)2=2a
把以上方程整理得： .x2+2x-1=0 （1）
2014 2015 2016
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问题2 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的
三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把
矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花
坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
32
2
0
x
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1.若设小路的宽是xm，那么横
向小路的面积是______m2，纵
向小路的面积是 m2,
两者重叠的面积是 m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程可得：
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0 （2）
32
2
0
x
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想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570
32-2x
2
0
-
2
x
32
2
0
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请观察下面两个方程并回答问题：
x2+2x-1=0 x2-36x+35=0
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
类比发现，探索新知
1.等号两边都是整式
2.只含有一个未知数
3.未知数的最高次数是2
特点：
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一般地一般地,,任何一个关于任何一个关于xx 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以
化为化为 的形式的形式,,我们把我们把
((a,b,ca,b,c为常数，为常数，aa≠0≠0）称为）称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式..
为什么要限制aa≠0?≠0?b,cb,c可以为零吗？可以为零吗？
想一想
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数
常数项
（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合
理的名字吗？
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（1）列表填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2=3x
(x-1)2-9=0
x(x+2)=3(x+2)
4x2-3x=0
x2-2x-8=0
x2-x-6=0
4 -3 0
1 -2 -8
1 -1 -6
练一练
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（2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由.
x+2=5x-3 x2=4
2x2-4=(x+2)2
(3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
不是 是
是 不是
当2a-4≠0时，即a≠2时，该方程为一元二次方程.
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通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方
程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常
数项时必须把方程化为一般形式才能进行.
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面
的符号.
（3）二次项系数a≠0.
议一议
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能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方
程程的解的解((或根或根))..
判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.
一元二次方程的根二
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1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3)
2.构造一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为2.
当堂练习
当x1=1时，x2-3x+2=1-3+2=0,因而是该方程的解；
当x2=2时，x2-3x+2=4-6+2=0,因而是该方程的解；
当x3=3时，x2-3x+2=9-6+2=5≠0，因而不是该方程的解.
x2-2x=0
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3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a
的值.
解：由题意得
把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
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4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1,
求a+b+c的值.
解：由题意得
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
拓广探索 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2
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一般地一般地,,任何一个关于任何一个关于x x 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以
化为化为 的形式的形式,,我们把我们把
((a,b,ca,b,c为常数，为常数，aa≠0≠0）称为）称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式..
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元
二次方程二次方程的解的解((或根或根))..
课堂小结
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22.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法和因式分解法
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1.学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元
二次方
程；（重点）
2.了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方
程的解
题步骤. (重点)
学习目标
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一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二
次方程的解的方法有哪些吗？
（a≠0）
导入新课
回顾与思
考
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解:
所以方程x2=9有两个
根，
x1=3, x2=-3.
直接开平方解方程一
讲授新课
例：解方程 x2=9.
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一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的
定义,可解得 , 这种解一元二次方
程的方法叫做直接开平方法开平方法.
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2.用直接开平方法开平方法解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=9.
1.方程 的根是
方程 的根是
方程 的根是
x1=0.5, x2=－0.5
x1＝3， x2＝－3
x1＝2， x2＝－1
练一
练
x1＝3， x2＝－3
x1＝0， x2＝3
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因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式.
在学习因式分解时，我们已经知道，可以利
用因式分解求出某些一元二次方程的解.
用因式分解法解一元二次方程二
问题 什么是因式分解？
问题引导
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例 解下列方程：
（1）x2－3x＝0; (2) 25x2=16
解：（1）将原方程的左边分解因式，
得 x（x-3）＝0;
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.
(2)将方程右边常数项移到左边，再根据平方差
公式因式分解，得x1=0.8，x2=-0.8.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法
叫做因式分解法.
典例精析
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●若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
●将方程的左边分解因式；
●根据若A∙B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为
解两个一元一次方程.
因式分解法的基本步骤是：
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这样解是否正确呢？
交流讨
论：
解：方程的两边同时除以x，
得x=1.
故原方程的解为x=1.
不正确，方程两边同时除以的数不能为零，
还有一个解为x=0.
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1.填空：
（1）方程x2+x=0的根是 _________________；
（2）x2－25=0的根是________________.
x1=0, x2= -1
x1=5, x2= -5
练一
练
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2. 解方程：x2-5x+6=0
解: 把方程左边分解因式，得
（x-2）（x-3）=0
因此x-2 =0或x-3=0.
∴x1=2，x2=3
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1.用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2
当堂练习
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解 :(1)移项得4x2-12x=0,即x2-3x=0,
x(x-3)=0,得x1=0,x2=3;
(2)原方程可以变形为2x2-7x=0,
分解因式为x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5;
(3)原方程可以变形为（x+3)2=0,解得x=-3;
(4)移项得9x2-(x-1)2=0,变形得（3x-
x+1)(3x+x-1)=0,
解得x1=-0.5,x2=0.25.
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解方程：（x+4）（x-1）=6.
解 : 把原方程化为一般形式，得
x2+3x-10=0
把方程左边分解因式，得
（x-2）（x+5）=0
因此x-2 =0或x+5=0.
∴x1=2，x2=-5
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解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 ,或3x－17=0
解得 x1=0, x2=
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(2) (3x－4)2=(4x－3)2.
(2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0,
即 (7x－7) (-x－1)=0.
∴7x－7=0,或 -x－1=0.
∴x1=1, x2=-1
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注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一
次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A∙B=0，则A=0或B=0，将解一元二次
方程转化为解两个一元一次方程.
课堂小结
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22.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方法
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1.掌握用配方法解一元二次方程；（重点）
2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择解法. (难点)
学习目标
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读诗词解题：
(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物.
而立之年督东吴，早逝英年两位数.
十位恰小个位三，个位平方与寿符.
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x-3
x2-11x+30=0
x2=10(x-3)+x
导入新课
思考
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这种方程
怎样解？
变
形
为
的形式．（a为非负常数）
变形为x2－4x＋1＝0 （x－2）2=3
用配方法解一元二次方程
讲授新课
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像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后,
再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.
(1)x2＋8x＋ =(x＋4)2
(2)x2－4x＋ =(x－ )2
(3)x2－___x＋ 9 =(x－ )2
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半一半的平方.
16
6 3
4 2
探究归纳
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例 用配方法配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)2x2-3x-1=0.
典例精析
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用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
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(2) －x2＋4x－3=0
(1) x2＋12x =－9
1.用配方法解下列方程：
当堂练习
解：(1) 两边同时加上36，得x2＋12x+36 =－9+36，
配方得（x+6）2=27，解得
（2）原方程可变形为x2-4x+3=0,配方得（x-1）（x-3)=0,
x1=1,x2=3.
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2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必
定大于零.
解： k2－3k＋5=(k- )2+ ，
∵ (k- )2≥0，
∴ k2－3k＋5＞0.
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3.先用配方法解下列方程：
（1） x2－2x－1＝0； （2） x2－2x＋4＝0；
（3） x2－2x＋1＝0；
然后回答下列问题：
（4）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到
的问题的？
（5）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才
有实数根？
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解：(1) 左右两边同时加2，得x2-2x+1=2,
配方得（x-1）2=2，解得
（2）左右两边同时减去3，得x2-2x+1=-3,
配方得(x-1)2=-3,很明显此方程无解；
（3）原方程配方得(x-1)2=0,解得x=1;
（4）略；
（5）
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1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,
可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做
直接开平方法开平方法.
2.像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式
后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半一半的平方.
课堂小结
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用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
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22.2 一元二次方程的解法
第3课时 公式法
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1.学会用公式法解一元二次方程；（重点）
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法；
(难点)
3.体会解决问题方法的多样性.（难点）
学习目标
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1.化1: 把二次项系数化为1;
2.移项: 把常数项移到方程的右边;
3.配方: 方程两边同加一次项系数一半的平方;
4.变形: 化成（x+m）2=a(a≥0);
5.开平方，求解.
“配方法”解方程的基本步骤：
导入新课
回顾与思考
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解：两边同时除以2，得x2+6x-1=0,
两边同时加上10，得x2+6x+9=10，
配方得(x+3)2=10,
解得
用配方法解下面这个一元二次方程：
你还会其他的解法吗？
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一起用配方法解下面这个一元二次
方程吧
并模仿解一般形式的一元二次方程
讲授新课
一元二次方程的求根公式一
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两边同
除以a
移项
两边同时
加上
整理
开方
解得
步骤
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一般地，对于一元二次方程
如果 ，那么方程的两个根为
这个公式叫做一元二次方程的求根公式；
这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
知识要点
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探索发现
x1= x2=
1.从两根的代数式结构上看有什么特点？
2.根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？
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用公式法解下列一元二次方程：
解：（1）
用公式法解一元二次方程二
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用公式法解下列一元二次方程：
解：将原方程化为一般形式，得
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运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
（2）求出 的值；
（3）若 ， 把a、b、c及 的值代入一
元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此
时方程无实数解.
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1.用公式法解下列一元二次方程：
解:（1）原方程即为 ，
练一练
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解方程： （精确到0.001）.
解：
用计算器求得：
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2.用公式法解一元二次方程：
解 :去括号，得
，
化简，得 ，
即
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1.用公式法解方程 ，得到（ ） A
A.
C. D.
B.
当堂练习
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2.用公式法解下列方程：
解：
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3.选择恰当的方法解下列方程：
解：当x=0时，原方程成立；
当x≠0时，两边同时除以x，得
2x-7=2,解得x=4.5.
综上原方程的解为x1=0,x2=4.5;
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4.关于x的一元二次方程
当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互
为相反数？
解：由题意可设该二元一次方程的两根分别为k，-k,
由求根公式得
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一般地，对于一元二次方程
如果 ，那么方程的两个根为
这个公式叫做一元二次方程的求根公式；
这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
课堂小结
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运用公式法解一元二次方程的解步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
（2）求出的 值；
（3）若 ，把a、b、c及 的值代
入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若
，此时方程无实数解.
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22.2 一元二次方程的解法
第5课时 一元二次方程的根与系数的关系
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1.了解一元二次方程根与系数的关系；（重点）
2.会应用一元二次方程根与系数的关系. (难点)
学习目标
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2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
导入新课
知识回顾
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方程
x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
x2-3x+2=0
x2-2x-3=0
x2-5x +4=0
问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，x1 • x2与对
应的一元二次方程的系数有什么关系？
2 1 3 2
-1 3 2 -3
1 4 5 4
讲授新课
一元二次方程的根与系数的关系一
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方 程
-2
x1+ x2，x1∙x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系?
猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2.
9x2-6x+1=0
3x2-4x-1=0
3x2+7x+2=0
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猜想：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）
的两根为x1、x2，则：
x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系
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解：
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任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1 + x2= , x1 ·x2= -
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条
件为b2-4ac≥0
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一、直接运用根与系数的关系
例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.
利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题二
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在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写.
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二、求关于两根的代数式的值
例2.设 是方程 的两个根，利用根与系
数的关系，求下列各式的值.
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解:由题意知
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三、构造新方程
例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二
次项系数为1.
解:（x-2)（x-3）=0,
x2-5x+6=0.(答案不唯一）
华师版九年级数学上册教学课件
例4.方程 的两根的和为6，一根为2，求p、
q的值.
四、求方程中的待定系数
解:若方程的另一个根为x1,由题意得
2+x1=-p=6,2x1=q,
即x1=4,p=-6,q=8.
华师版九年级数学上册教学课件
1.方程 有一个正根，一个负
根，求m的取值范围.
解:由已知得 Δ=
即 m>0
m-
1
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