沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数 教学课件

沪科版九年级数学上册教学课件 21.1 二次函数 第21章 二次函数与反比例函数 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点） 沪科版九年级数学上册教学课件 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？ 导入新课 情境引入 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 视频引入 思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗? 沪科版九年级数学上册教学课件 1.什么叫函数 ? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变 量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确 定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函 数. 3.一元二次方程的一般形式是什么 ？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数 叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比 例函数. 2.什么是一次函数？正比例函数 ？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 沪科版九年级数学上册教学课件 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体 表面积y与正方体棱长 x之间的关系，对于x 的每一个值，y都有唯 一的一个对应值，即y 是x的函数. 讲授新课 二次函数的定义一 探究归纳 沪科版九年级数学上册教学课件 问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一 块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大， 则它的边长应是多少米？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水 面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2， 则有 此式表示了边长x与围网的面积S之间的关 系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个 对应值，即S是x的函数. 沪科版九年级数学上册教学课件 问题3   有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每 人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增 加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人 才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？ 设增加x 人，这时，则共有 个装配工,每人 每天可少装配_____个玩具，因此，每人每天只装配 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩 具总数y可表示为y=________________. (15+x ) (190－10x) 整理为： y=－10x2+40x+2850 (190－ 10x)(15+x) 此式表示了每天装配玩具总 数y与增加x人之间的关系，对 于x的每一个值，y都有唯一的 一个对应值，即y是x的函数. 10x 沪科版九年级数学上册教学课件 y=6x2 y=－10x2+40x+2850 问题1-3中函数关系式有什么共同点? 想一想 函数都是用 自变量的二次整 式表示的 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做 二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、 一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项. 归纳总结 沪科版九年级数学上册教学课件 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自 变量） ① y=ax2+bx+c ② y=3-2x² ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²-x² 不一定是，缺少 a≠0的条件. 不是，右边 是分式. 不是，x的最 高次数是3. y=6x+9 典例精析 沪科版九年级数学上册教学课件 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等. 方法归纳 沪科版九年级数学上册教学课件  想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别 ？ 联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0； (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋ c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y, 后者是0. 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数定义的应用二 例2 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解：（1）由题可知, 解得 （2）由题可知, 解得 m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而 得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视. 注意 沪科版九年级数学上册教学课件  1.已知:                         ，k取什么值时，y是x的二次 函数？ 解：当     =2且k+2≠0，即k=-2时, y是x的二次函数. 变式训练 解： 由题意得：由题意得： ∴m≠±3 沪科版九年级数学上册教学课件 解：解：由题意得：由题意得： 【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 沪科版九年级数学上册教学课件 例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档 次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高 一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整 数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式； 解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元， 每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件， ∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元． ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]， 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)； 沪科版九年级数学上册教学课件 (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求 该产品的质量档次． 解：由题意可得  －10x2＋180x＋400＝1120，      整理得           x2－18x＋72＝0，      解得              x1＝6，x2＝12(舍去)．         所以，该产品的质量档次为第6档． 【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型． 沪科版九年级数学上册教学课件 思考： 1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取 值范围是什么？ 2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？ 【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义. 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数的值三 例4 一个二次函数 . （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？ 解：（1）由题意，得 解得 将x=0.5代入函数关系式得 ，                                              （2）当k=2时， 沪科版九年级数学上册教学课件 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次 项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件， 求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入 法将x的值代入其中，求出y的值. 归纳总结 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0   B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 C 1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． C -3x2 -16 12 沪科版九年级数学上册教学课件 4. 已知函数 y=3x2m-1－5 ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 . 1 沪科版九年级数学上册教学课件 5.若函数 是二次函数，求： （1）a的值， (2) 函数关系式， （3）当x=-2时，y的值是多少？ 解：（1）由题意，得 解得 （2）当a=-1时，函数关系式为 . （3）将x=-2代入函数关系式中，有 沪科版九年级数学上册教学课件 6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的 函数 （1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函 数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面 积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系． 沪科版九年级数学上册教学课件 7.某商店销售一种成本为每千克40元的商品，根据市场 分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销 售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的 销售情况，请解答下列问题： （1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销 售利润分别为多少？ （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y 与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围） 沪科版九年级数学上册教学课件 8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为 y（cm2).求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 . 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）. 沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 1.二次函数y=ax²的图象和性质 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用 .（难点） 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 情境引入 沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课 二次函数y=ax2的图象一 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 …               …  例1 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 94 典例精析 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值： 沪科版九年级数学上册教学课件 2 4-2-4 o 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面内描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象． 沪科版九年级数学上册教学课件 -3 3o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的 路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.                对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 沪科版九年级数学上册教学课件 练一练：画出函数y=-x2的图象. y 2 4-2-4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9  -4  -1  0  -1  -4  -9  …  沪科版九年级数学上册教学课件 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次 函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. xo y=x2 议一议 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． y 沪科版九年级数学上册教学课件 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. o x y y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 沪科版九年级数学上册教学课件 1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上； 当a”“＝”或“2 0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 沪科版九年级数学上册教学课件 6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次 函数y＝ax2＋k的图象大致为(  ) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下 所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开 口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 沪科版九年级数学上册教学课件 能力提升 7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大 而增大，则m=____. 8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）    则a=____. 9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）､B两点，与y轴 交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图 象 性 质 与y=ax2的关系 1.开口方向由a的符 号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 增减性结合 开口方向和 对称轴才能 确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第2课时  二次函数y=a(x+h)²的图象和性质 沪科版九年级数学上册教学课件 情境引入 学习目标 1.会画二次函数y=a(x+h)2的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=a(x+h)2的性质.(难点） 3.比较函数y=ax2 与 y=a(x+h)2的联系. 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 复习引入 沪科版九年级数学上册教学课件 a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c0 a0,当x< 时，y 随x的增大而减小；当 x>         时，y随x的增大 而增大. 如果a 时，y随x的增大 而减小. 沪科版九年级数学上册教学课件 例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值 随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴 右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的 值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ， 即b≤1，故选择D . D 沪科版九年级数学上册教学课件 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,3) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6( ,-6) 直线x= 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数字母系数与图象的关系三 合作探究 问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根 据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2y=k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2       0 b2 ___ 0 ＞ ＞ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＜ ＞ ＜ 沪科版九年级数学上册教学课件 x y O 问题2 二次函数 的图象如下图所示， 请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴 左侧，x＜0 对称轴在y轴 右侧，x＞0 x=0时， y=c. 沪科版九年级数学上册教学课件 x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是y轴， x=0 对称轴在y轴 右侧，x＞0 x=0时， y=c. 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 沪科版九年级数学上册教学课件 例3  已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下 列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④ (a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是                    (  ) A．1   B．2    C．3   D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限 可得4a－2b＋c＜0，故③正确；       由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－ 1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在 y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得     c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 沪科版九年级数学上册教学课件 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D 当堂练习 沪科版九年级数学上册教学课件 O y x –1 –2 3 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x=–1和x=3时，函数值相等； （3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . 直线x=1 （2） 沪科版九年级数学上册教学课件 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1 是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+cy2.其中正确的是（ ） A．①②③   B．①③④ C．①②④  D．②③④ x y O 2 x=-1 B 沪科版九年级数学上册教学课件 4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线x=3 直线x=8 直线x=1.25 直线x= 0.5 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 顶点：顶点： 对称轴：对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法配方法 公式公式法法 (顶点式) 沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 *3.二次函数表达式的确定 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点） 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题 .（重点） 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 复习引入 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要 已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤 是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 沪科版九年级数学上册教学课件 一般式法二次函数的表达式一 探究归纳 问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定 系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所 列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 讲授新课 沪科版九年级数学上册教学课件 解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0）， （0，-3）代入y=ax2+bx+c得 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）， 试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1 ，b=-4 ，c=- 3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式） 沪科版九年级数学上册教学课件 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 沪科版九年级数学上册教学课件 例1 一个二次函数的图象经过 (-1, 10)、(1,4)、(2,7) 三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,已 知函数图象经过点(-1, 10)、(1,4)、(2,7)三点， 可得 4a+2b+c=7， a-b+c=10， 解这个方程组，得 ∴所求的二次函数的表达式是 y=2x2-3x+5 a+b+c=4， c=5， a=2， b=-3， 沪科版九年级数学上册教学课件 例2 有一个二次函数,当x=0时, y=－1;当x=－2时, y=0;当x= 时, y=0,求这个二次函数的解析式. 由题意得：解：设所求的二次函数为 ,2 cbxaxy ++= 解得 所求的二次函数为 沪科版九年级数学上册教学课件 顶点法求二次函数的表达式二 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个 二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8，    解得    a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x- 3. 沪科版九年级数学上册教学课件 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做 顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 沪科版九年级数学上册教学课件 例2  一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标 为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)， 因此，可以设函数表达式为                                y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得     0=a(0-8)2+9.    解得               ∴所求的二次函数的解析式是 沪科版九年级数学上册教学课件 解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1) (x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数 的表达式. 交点法求二次函数的表达式三 x y O 1 2-1-2-3-4 -1-2 -3 -4 -5 1 2 沪科版九年级数学上册教学课件 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方 法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得 到关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 沪科版九年级数学上册教学课件 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件 ？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可 平行于x轴，但不可以平行于y轴. 沪科版九年级数学上册教学课件 特殊条件的二次函数的表达式四 例3.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3) 和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．  解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，            3=4a+c， －3=a+c， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. ∴{ a=2， c=－5. 解得{ 关于y轴 对称 沪科版九年级数学上册教学课件   已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)       和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．  解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， 做一做 图象经过 原点 8=4a-2b， 5=a-b，∴{            解得a=-1,b=-6. ∴ y=-x2-6x. 沪科版九年级数学上册教学课件 B C 二次函数与一次函数的综合五 解：如图所示； 例5 ：抛物线                               与直线                   交于 B,C两点. （1）在同一平面直角坐标系中 画出直线与抛物线； 沪科版九年级数学上册教学课件 解：由 （2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积； x y O A2-1-2-3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 得点A的坐标为（4,0） 解方程组 得B（2,2）,C（7,4.5） 沪科版九年级数学上册教学课件 x y O AB1-1-2-3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2 C1 沪科版九年级数学上册教学课件 练一练 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） xO y A O x y B xO y C xO y D A 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .        注  y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a (x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三 者是顶点式的特殊形式. 注意 x y O 1 2-1-2-3-4 3 2 1 -1 3 4 5 沪科版九年级数学上册教学课件 2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 . 顶点坐标是（1， 6） y=-2(x-1)2+6 沪科版九年级数学上册教学课件 3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c． 依题意得                       ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a-b＋c＝-5， 解得 b＝3， c＝－4， a＝2， 沪科版九年级数学上册教学课件 4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且 过点M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， 所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1. 沪科版九年级数学上册教学课件 5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴 交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题： (1)求抛物线的表达式； 解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是x＝－3，∴    ＝－3， ∴b＝6，∴c＝5， ∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5； 沪科版九年级数学上册教学课件 (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C 在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积． (2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称． ∵点C在对称轴左侧，且CD＝8， ∴点C的横坐标为－7， ∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点B的坐标为(0，5)， ∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7， ∴△BCD的面积＝    ×8×7＝28. 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或 对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴 的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x- x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 沪科版九年级数学上册教学课件 21.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 沪科版九年级数学上册教学课件 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间 的联系；（重点） 2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； （重点） 3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会 数形结合思想的应用.（难点） 学习目标 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 情境引入 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线， 如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位： m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 考虑以下问题： 沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课 二次函数与一元二次方程的关系一 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多 少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出 为什么在两个时间求 的高度为15m吗？ h=20t-5t2 沪科版九年级数学上册教学课件 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需 要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为 什么只在一个时间球 的高度为20m？ O h t 20 4 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2秒时， 它的高度为20米. h=20t-5t2 沪科版九年级数学上册教学课件 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需 要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m的高度? 20.5解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1 0 有一个交点 有两个相等的实 数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系 沪科版九年级数学上册教学课件 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 沪科版九年级数学上册教学课件 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝     . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． 沪科版九年级数学上册教学课件 变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B (x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都 有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1 2＋x2 2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 沪科版九年级数学上册教学课件 例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线                               运行，其中x是铅球离初始位置的水平 距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的 水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置 的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？ 沪科版九年级数学上册教学课件 解  （1）由抛物线的表达式得            即           解得          即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始 位置的水平距离是1m或5m. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位 置的水平距离是多少？ 沪科版九年级数学上册教学课件 （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始 位置的水平距离是多少？ （2）由抛物线的表达式得           即          解得          即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位    置的水平距离是3m. 沪科版九年级数学上册教学课件 （3）由抛物线的表达式得          即          因为                                        所以方程无实根.          所以铅球离地面的高度不能达到3m. （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 沪科版九年级数学上册教学课件 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 沪科版九年级数学上册教学课件 例3：求一元二次方程                         的根的近似值（精 确到0.1）.   分析：一元二次方程 x²+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解三 沪科版九年级数学上册教学课件 解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个 在0与1之间. x y 0 沪科版九年级数学上册教学课件        先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个 根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的 y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0 ，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1， 这时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为 接近0.故x1≈-2.4. 同理可得另一近似值为x2≈0.4. 沪科版九年级数学上册教学课件 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根 . (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象； (2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的 横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3, 另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等 分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5. 方法归纳 沪科版九年级数学上册教学课件 例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(  ) A．x1≈－2.1， x2≈0.1    B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9， x2≈0.9   D．x1≈－3，    x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称 轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的 距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则               ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5， x2≈0.5.故选B. B 沪科版九年级数学上册教学课件      解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再 根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度， 直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 沪科版九年级数学上册教学课件  判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个 解x的范围是（      ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24