（人教版）高中数学必修5课件：第2章 数列2.2 第2课时 .ppt

数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 第2课时 等差数列的性质 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列中项与序号的关系 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列； ②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为___的等差数列 ． (2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数 列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为____________的等差数列． 等差数列的性质 d cd 2d pd1＋qd2 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 对等差数列的性质的理解 (1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两 项．特别地，当m＋n＝2r时(m，n，r∈N*)am＋an＝2ar. (2)从等差数列{an}中，等距离抽取一项，所得的数列仍 为等差数列，当然公差也随之发生变化． 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)将等差数列各项都乘以同一个常数k，所得数列仍为 等差数列，公差为kd. (4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取， 实际上是3a2,3a5,3a8…当然成等差数列．对于每2项，4项，5项 …抽取，道理是相同的． (5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝… 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(  ) A．4        B．5 C．6 D．7 解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋ a5＋a6等于(  ) A．40 B．42 C．43 D．45 解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝ a1＋a2＋a3＋3×3d＝42. 答案： B 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝ ________. 解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7 ＝15. 答案： 15 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋ d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12. 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列性质的应用 在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36， 则a5＋a8＝________. [思路点拨] 由题目可获取以下主要信息：①数列{an} 为等差数列；②a2＋a3＋a10＋a11＝36；③求a5＋a8.解答本题可 利用性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，也可引入公差d和首项a1对已知和所 求进行化简求解． 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方法一：根据等差数列的性质可得： a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18. 方法二：根据题意，有 (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋ 22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1 ＋11d，因此，a5＋a8＝18. 答案： 18 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 法一运用了等差数列的性质，若p＋q＝m＋n (p，q，m，n∈N*)，则ap＋aq＝am＋an；法二设出了a1，d但并 没有求出a1，d.事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法 在数学中是一种常用方法，它体现了整体求解的思想.  数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值 是(  ) A．15       B．30 C．31 D．64 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d， 则由a7＋a9＝16得2a1＋14d＝16，由a4＝1，得a1＋3d＝1.∴两 式相减得a1＋11d＝15，即a12＝15. 方法二：∵7＋9＝4＋12，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝a7 ＋a9－a4＝15. 答案： A 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列的运算 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这 三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两 项的积为－8，求这四个数． [思路点拨] (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数 为a－d，a，a＋d(d为公差)； (2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可 设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)． 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 [边听边记] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a， 公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋ d，a＋2d， 依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12， 即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2. 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d (公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．   数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二 个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 综合运用题 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧 扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－ 1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是利用整 体代换的思想方法． (2)若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反 例即可．   数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间 还有10级，已知各级的宽度成等差数列，试计算中间各级的宽度 ． 解析： 用{an}表示题中的等差数列．由已知条件得a1＝ 33，a12＝110，n＝12.设公差为d，则a12＝a1＋(12－1)d， 即110＝33＋11d，解得d＝7. 因此，a2＝33＋7＝40，a3＝33＋2×7＝47，…，a11＝33 ＋10×7＝103. ∴中间各级的宽度分别为40 cm,47 cm,54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 ◎已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8，…， {bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此 具有相同数值的项？ 【错解】 由已知两等差数列的前三项，容易求得它们 的通项公式分别为： an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)， 令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2. 所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项． 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 本题所说的是数值相同的项，但它们的项数 并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出 现过，而并不是这两个数列的第几项． 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 必修5 第二章 数 列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 高效测评 知能提升 谢谢观看！