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资料简介
第2课时  参数方程和普通方程的互化 【自主预习】 1.普通方程 相对于参数方程而言,直接给出_________________的 方程叫做普通方程. 点的坐标间的关系 2.曲线的普通方程和参数方程的互相转化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 一般地,可以通过_________而从参数方程得到普通方程. 消去参数 (2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如 _______,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的 关系_______,那么 就是曲线的参数方程.在参 数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的_________保 持一致. x=f(t) y=g(t) 取值范围 【即时小测】 1.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为 (  ) A. (θ为参数) B. (θ为参数) C. (θ为参数) D. (θ为参数) 【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半 径为 ,所以它的参数方程为 (θ为参 数). 2.参数方程 (t为参数)化为普通方程为 ________. 【解析】消去参数方程 中的参数t, 得到普通方程为y2=4x. 答案:y2=4x 【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性. 2.将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什 么? 提示:尽管同一曲线的参数方程不唯一,但是一定要注 意方程与曲线的等价性. 【归纳总结】 1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的 普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、 性质等. (2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为 中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的 最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便. 2.参数方程化为普通方程的三种常用方法: (1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数. (2)三角函数法:利用三角恒等式消去参数. (3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体 上消去. 特别提醒:化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消参过 程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的 取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范围. 类型一 参数方程化为普通方程 【典例】将下列参数方程化为普通方程,并判断曲线的 形状. (1) (2) 【解题探究】典例(1)(2)中如何分别消去参数? 提示:(1)利用三角函数基本关系式消去参数. (2)两式相加消去参数或代入法消去参数. 【解析】(1)由 所以(x-1)2+y=cos2θ+sin2θ=1, 即y=-(x-1)2+1(0≤y≤1),表示抛物线弧段,如图. (2)方法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可 以采取加减消参的办法. 所以所求的方程为x+y=1(x≠-1,y≠2). 方程表示直线(去掉一点(-1,2)). 方法二:只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可. 由 所以x+xt=1-t, 所以(x+1)t=1-x,即 代入 所以x+y=1(x≠-1,y≠2). 方程表示直线(去掉一点(-1,2)). 【方法技巧】消去参数方程中参数的技巧 (1)加减消参数法:如果参数方程中参数的符号相等或 相反,常常利用两式相减或相加的方法消去参数. (2)代入消参数法:利用方程思想,解出参数的值,代入 另一个方程消去参数的方法,称为代入消参法,这是非 常重要的消参方法. (3)三角函数式消参数法:利用三角函数基本关系式 sin2θ+cos2θ=1消去参数θ. 【变式训练】1.将参数方程 化为普通 方程为________. 【解析】将参数方程 两式相加,得x+y=2,其中 x=1+t2≥1. 答案:x+y=2(x≥1) 2.将参数方程 (a,b为大于零的常数,t为参 数)化为普通方程,并判断曲线的形状. 【解析】因为 所以t>0时,x∈[a,+∞), t

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