第2课时
参数方程和普通方程的互化
【自主预习】
1.普通方程
相对于参数方程而言,直接给出_________________的
方程叫做普通方程.
点的坐标间的关系
2.曲线的普通方程和参数方程的互相转化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
一般地,可以通过_________而从参数方程得到普通方程.
消去参数
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如
_______,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的
关系_______,那么 就是曲线的参数方程.在参
数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的_________保
持一致.
x=f(t)
y=g(t)
取值范围
【即时小测】
1.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为 ( )
A. (θ为参数)
B. (θ为参数)
C. (θ为参数)
D. (θ为参数)
【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为 ,所以它的参数方程为 (θ为参
数).
2.参数方程 (t为参数)化为普通方程为
________.
【解析】消去参数方程 中的参数t,
得到普通方程为y2=4x.
答案:y2=4x
【知识探究】
探究点 参数方程和普通方程的互化
1.同一曲线的参数方程是否唯一?
提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参
数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要
注意等价性.
2.将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什
么?
提示:尽管同一曲线的参数方程不唯一,但是一定要注
意方程与曲线的等价性.
【归纳总结】
1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的
普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、
性质等.
(2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为
中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的
最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.
2.参数方程化为普通方程的三种常用方法:
(1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消
去参数.
(2)三角函数法:利用三角恒等式消去参数.
(3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体
上消去.
特别提醒:化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消参过
程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的
取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范围.
类型一 参数方程化为普通方程
【典例】将下列参数方程化为普通方程,并判断曲线的
形状.
(1)
(2)
【解题探究】典例(1)(2)中如何分别消去参数?
提示:(1)利用三角函数基本关系式消去参数.
(2)两式相加消去参数或代入法消去参数.
【解析】(1)由
所以(x-1)2+y=cos2θ+sin2θ=1,
即y=-(x-1)2+1(0≤y≤1),表示抛物线弧段,如图.
(2)方法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可
以采取加减消参的办法.
所以所求的方程为x+y=1(x≠-1,y≠2).
方程表示直线(去掉一点(-1,2)).
方法二:只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可.
由 所以x+xt=1-t,
所以(x+1)t=1-x,即 代入
所以x+y=1(x≠-1,y≠2).
方程表示直线(去掉一点(-1,2)).
【方法技巧】消去参数方程中参数的技巧
(1)加减消参数法:如果参数方程中参数的符号相等或
相反,常常利用两式相减或相加的方法消去参数.
(2)代入消参数法:利用方程思想,解出参数的值,代入
另一个方程消去参数的方法,称为代入消参法,这是非
常重要的消参方法.
(3)三角函数式消参数法:利用三角函数基本关系式
sin2θ+cos2θ=1消去参数θ.
【变式训练】1.将参数方程 化为普通
方程为________.
【解析】将参数方程 两式相加,得x+y=2,其中
x=1+t2≥1.
答案:x+y=2(x≥1)
2.将参数方程 (a,b为大于零的常数,t为参
数)化为普通方程,并判断曲线的形状.
【解析】因为 所以t>0时,x∈[a,+∞),
t