第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念、圆的参数
方程
【自主预习】
1.曲线的参数方程的定义
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x,y都是某个变数t的函数________①,并且对于t
的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这
条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程.变
数t叫做参变数,简称_____.
参数
2.圆的参数方程
圆心和半径 圆的坐标方程 圆的参数方程
圆心O(0,0),
半径r x2+y2=r2
圆心C(a,b),
半径r (x-a)2+(y-b)2=r2
【即时小测】
1.曲线 (θ为参数)围成图形的面积等
于( )
A.π B.2π C.3π D.4π
【解析】选D.曲线
即 (θ为参数)表示圆心为(-1,3),半径
为2的圆,所以面积等于4π.
2.已知 (t为参数),若y=1,则x=________.
【解析】若y=1,则t2=1,则t=±1,x=0或2.
答案:0或2
【知识探究】
探究点 参数方程的概念、圆的参数方程
1.曲线的参数方程中参数的实际意义是什么?
提示:在曲线的参数方程中,参数可以有明确的几何意
义,也可以有明确的物理意义,如时间、旋转角等.当然
也可以是没有实际意义的变数.
2.圆的参数方程中参数的几何意义是什么?
提示:(1)圆的参数方程 中参数θ的几何意
义:
射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x,y)
是圆上的任意一点)位置时转过的角度.
如图所示.
(2)圆的参数方程 中参数θ的几何意义:
如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意
义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一
点)位置时转过的角度.
【归纳总结】
1.曲线的参数方程的理解与认识
(1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变
量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因
而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系
并不一定是函数关系.
(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指
明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线
也会有所不同.
2.参数方程与普通方程的统一性
(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间
的关系的中间变量,起到了桥梁的作用.
(2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相
对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间
的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y
之间的间接联系.
特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同
表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.
类型一 参数方程的表示与应用
【典例】已知曲线C的参数方程是 (t为参
数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上.
(1)求常数a的值.
(2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.
【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲
线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分
别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断
点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数
方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,
否则,点不在曲线上.
【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
得
消去参数t,解得a=1.
(2)由上述可得,曲线C的参数方程是
将点(1,0)的坐标代入参数方程得 得t=0,
因此点(1,0)在曲线C上.
将点(3,-1)的坐标代入参数方程得
方程组无解,因此点(3,-1)不在曲线C上.
【方法技巧】点与曲线的位置关系
(1)动点的轨迹:满足某种约束条件的动点的轨迹形成
曲线,点与曲线的位置关系有两种:点在曲线上,点不在
曲线上.
(2)对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲
线上,则点M(x1,y1)的坐标是方程f(x,y)=0的解,即有f
(x1,y1)=0.若点N(x2,y2)不在曲线上,则点N(x2,y2)的坐
标不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)≠0.
(3)对于曲线C的参数方程 (t为参数)若点M(x1,
y1)在曲线上,则 对应的参数t有解,否则无解,
即参数t不存在.
【变式训练】已知曲线C的参数方程为 (t为
参数).
(1)判断点A(1,0),B(3,2)与曲线C的位置关系.
(2)若点M(10,a)在曲线C上,求实数a的值.
【解析】(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组,解得t=0,
所以点A(1,0)在曲线上.
把点B(3,2)的坐标代入方程组,得
即 故方程组无解,所以点B不在曲线上.
(2)因为点M(10,a)在曲线C上,所以 解得
所以a=±6.
类型二 求曲线的参数方程
【典例】长为3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y
轴正半轴上滑动, 点P的轨迹为曲线C.
(1)以直线AB的倾斜角α为参数,求曲线C的参数方程.
(2)求点P到点D(0,-2)距离的最大值.
【解题探究】典例中点P是线段AB的几等分点?如何建
立点的坐标的参数方程?如何求距离的最大值?
提示:点P是线段AB的一个三等分点,利用三角函数建立
点的坐标的参数方程.建立距离的目标函数,转化为二
次函数求最大值.
【解析】(1)设P(x,y),由题意,得
所以曲线C的参数方程为
(2)由(1)得|PD|2=(-2cosα)2+(sinα+2)2=
4cos2α+sin2α+4sinα+4=-3sin2α+4sinα+8=
当 时,|PD|取得最大值
【方法技巧】求曲线的参数方程的注意事项
(1)求曲线的参数方程关键是确定参数,本题以线段所
在直线的倾斜角为参数,通过解直角三角形得到曲线上
动点坐标的三角函数方程.
(2)求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立
目标函数,通过配方法求函数的最值,要注意函数的定
义域.
【变式训练】1.若x=t-1(t为参数),求直线x+y-1=0的
参数方程.
【解析】把x=t-1代入x+y-1=0,得y=-t+2,
所以直线x+y-1=0的参数方程为
2.已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负
半轴上移动,顶点B在x轴的非负半轴上移动,求顶点C在
第一象限内的轨迹的参数方程.
【解析】如图,设C(x,y),∠ABO=θ,
过点C作x轴的垂线段CM,垂足为M.
则
所以
（θ为参数，0≤θ≤ ）为所求.
类型三 圆的参数方程与应用
【典例】(2016·漳州高二检测)已知曲线C1:
(t为参数),C2: (θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什
么曲线.
(2)若C1上的点P对应的参数为t= ,Q为C2上的动点,
求PQ中点M到直线C3: (t为参数)距离的最小值.
【解题探究】(1)如何根据参数方程判断曲线的形状?
提示:将参数方程化为普通方程再判断曲线形状.
(2)如何求点到直线距离的最小值?
提示:利用参数方程化为三角函数的最小值求解.
【解析】(1)由曲线C1: (t为参数)
得 利用三角函数的平方和公式消去参数t,
得C1:(x+4)2+(y-3)2=1,
曲线C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.
同理,得C2: 曲线C2为中心是坐标原点,焦点
在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(2)当t= 时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),
故
C3为直线x-2y-7=0,
M到C3的距离d= |4cosθ-3sinθ-13|=
|5cos(θ+φ)-13|,
当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值
【方法技巧】
(1)圆的参数方程中的参数是角,所以圆上的点的坐标
是三角函数.
(2)与距离有关的最大值或最小值问题,常常利用圆的
参数方程转化为三角函数解决.
【变式训练】
1.(2016·合肥高二检测)设曲线C的参数方程为
(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则
曲线C上到直线l距离为 的点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.曲线C: (θ为参数)的普通方
程为(x-2)2+(y+1)2=9,
表示圆心C(2,-1),r=3的圆,
由于圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离为
又r-2d= 所以r-d0时,x=t+ ≥2;
当t
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