人教版高中数学选修4-4课件：2.2圆锥曲线的参数方程 .ppt

二  圆锥曲线的参数方程  【自主预习】 椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程 圆锥曲线 普通方程 参数方程 椭圆 (a>b>0) _____________ (φ为参数) 圆锥曲线 普通方程 参数方程 双曲线 (a>0,b>0) (φ为参数) 抛物线 ___________ (α为参数)y2=2px(p>0) 【即时小测】 1.参数方程 (θ为参数)表示的曲线为(  ) 【解析】选B.由参数方程 (θ为参数)得 将两式平方相加,得x2+ =1,表示焦点在y轴 上的椭圆. 2.直线y=2x- 与曲线 (φ为参数)的交点坐 标是________. 【解析】因为cos2φ=1-2sin2φ, 所以曲线方程化为y=1-2x2,与直线y=2x- 联立, 解得: 由-1≤sinφ≤1,故 不符合题意,舍去, 则直线与曲线的交点坐标为 答案: 【知识探究】 探究点 圆锥曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么? 提示:椭圆的参数方程中,参数φ的几何意义为椭圆上 任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角α区分开来, 除了点M在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外 (即在0到2π的范围内),在其他任何一点,两个角的数 值都不相等.但当0≤α≤ 时,相应地也有0≤φ≤ , 在其他象限内也有类似范围. 2.抛物线y2=2px(p>0)的参数方程 (t为参数) 中参数t的几何意义是什么? 提示:由抛物线参数方程的推导过程可知,参数t表示抛 物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 【归纳总结】 1.椭圆的参数方程 中的参数φ与圆的参数 方程 中的参数θ意义的区别 从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数φ是椭圆上 的点M所对应的大圆的半径OA的旋转角,不是OM的旋转 角,而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角,椭圆参 数方程中的φ称为点M的离心角. 2.余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方 程 (1)定义. 如图,已知点P(x,y)是角α的终边上异于原点的任一点 (角α的始边是x轴的正半轴,顶点是坐标原点),其到原 点的距离为|OP|=r,则 分别叫做角α的余切函 数、正割函数、余割函数,表示为cotα= {α|α≠ kπ,k∈Z};secα= {α|α≠kπ+ k∈Z};cscα= {α|α≠kπ,k∈Z}. (2)双曲线 (a>0,b>0)的参数方程为 (α为参数,且α≠kπ+ k∈Z)双曲线 (a>0,b>0)的参数方程为 (α为参数,且α≠ kπ,k∈Z) 类型一 椭圆的参数方程与应用 【典例】已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数) 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2 上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 (1)求点A,B,C,D的直角坐标. (2)求曲线C1的普通方程,判断曲线形状. (3)设P为C1上任意一点,求 的取 值范围. 【解题探究】(1)典例(1)中如何求各点的直角坐标? 提示:先求A点的直角坐标,由对称性求其余各点的坐标. (2)曲线C1的形状是什么? 提示:将曲线C1的参数方程化为普通方程,是椭圆. (3)如何求距离平方和的取值范围? 提示:利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题. 【解析】(1)由曲线C2的极坐标方程ρ=2,可知曲线C2 是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2 上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 故 由对称性得,直角坐标分别为 (2)由曲线C1的参数方程 (φ为参数) 得 两式平方相加得 所以曲线是焦点在y轴上的椭圆. (3)由于点P为曲线C1 上任意一点, 得P(2cosφ,3sinφ), 则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 =(2cosφ-1)2+(3sinφ- )2+ (2cosφ+ )2+(3sinφ-1)2+ (2cosφ+1)2+(3sinφ+ )2+ (2cosφ- )2+(3sinφ+1)2 =16cos2φ+36sin2φ+16 =32+20sin2φ, 因为32≤32+20sin2φ≤52, 所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是[32,52]. 【方法技巧】椭圆的参数方程应用技巧 (1)椭圆的参数方程:中心在原点的椭圆的参数方程 (θ为参数,a>b>0)常数a,b分别是椭圆的长 半轴,短半轴,焦点F(±c,0)在x轴上,其中a2=b2+c2. 椭圆的参数方程也可以是 (θ为参数,a>b>0) (2)与椭圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围 问题,常常利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决. 【变式训练】1.椭圆 (φ为参数)在坐标轴的 正半轴上的焦点坐标为________. 【解析】将椭圆的参数方程 (φ为参数)化 为普通方程为 由a2=25,b2=9, 得c2=a2-b2=16, 所以c=4,椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为(4,0). 答案:(4,0) 2.在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆 上的动点,求S=x+y的最大值. 【解析】椭圆 的参数方程为 (θ为参数)故可设动点P的坐标为( cosθ,sinθ), 其中0≤θb>0)上,如何求|PQ|的最小值? 【解析】由双曲线 得参数方程为 (φ为参数) 则 当且仅当 时, 【方法技巧】双曲线的参数方程中的应用技巧 (1)双曲线的参数方程 (φ为参数)中, 所以cosφ≠0, 所以φ≠kπ+ k∈Z,这也与使tanφ有意义的φ的 取值范围相一致.故我们通常规定参数φ的范围为φ∈ [0,2π),且φ≠ (2)双曲线的参数方程中,常用的三角函数关系式为 sin2φ+cos2φ=1⇒1+tan2φ= =sec2φ⇒sec2φ- tan2φ=1. 【补偿训练】1.参数方程 (φ为参数) 表示曲线的离心率为________. 【解析】参数方程 (φ为参数)即 所以 表示双曲线, 其中c2=a2+b2=9+16=25,所以 答案: 2.(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标 方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为 (t为参数)l与C相交于A,B两点,则|AB|=______. 【解题指南】先将极坐标方程ρ(sinθ-3cosθ)=0和 曲线C的参数方程 (t为参数)化成普通方程, 再求解. 【解析】由ρ(sinθ-3cosθ)=0知,直线的方程是 y=3x, 由曲线C的参数方程为 (t为参数)消去参数 得,y2-x2=4,解方程组 得 答案: 自我纠错 等价转化求轨迹方程 【典例】已知A,B是抛物线y2=2x上异于顶点的两动点, 且OA⊥OB,OM⊥AB,并与AB相交于点M,求点M的轨迹. 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因一是忽视了动点M不能到达原点 导致求方程增解出错,另外,没有判断轨迹形状导致错 误.正确解答过程如下: 【解析】方法一:设M(x,y), 由 (2t1t2)2+22t1t2=0, 因为A,B是抛物线上异于顶点的两动点, 所以t1t2=-1.……………………① 所以x(t1+t2)+y=0, (x≠0)…………② 又 且A,M,B共线. 所以 即y(t1+t2)-2t1t2-x=0.……………………………③ 将①②代入③,得到x2+y2-2x=0,由于动点M不能到达原 点,故轨迹方程为x2+y2-2x=0(x≠0),所以动点M的轨迹 是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉原点. 方法二:设 因为OA⊥OB, 所以 得y1y2=-4, 直线AB的方程为 即 所以直线AB过定点C(2,0), 又OM⊥AB,所以点M的轨迹是以OC为直径的圆,则点M的 轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0). 所以动点M的轨迹是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉 原点.