人教版高中数学选修4-4课件：模块复习课 第二课 （共59张PPT） .ppt

第二课  参数方程 【网络体系】 【核心速填】 1.参数方程的定义 在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都 是某个变数t的函数 ①并且对于t的每一个允 许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程组①就叫做这条曲线的_________,联系变数 x,y的变数t叫做参变数,简称参数.参数方程中的参数 可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明 显意义的变数. 参数方程 2.常见曲线的参数方程 (1)直线. 直线的标准参数方程即过定点M0(x0,y0),倾斜角为 α(α≠ )的直线l的参数方程的标准形式为 ____________(t为参数) (2)圆. ①圆x2+y2=r2的参数方程为____________(θ为参数) ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 ____________(θ为参数) (3)椭圆. 中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆b2x2+a2y2=a2b2的参 数方程为_________ (φ为参数) (4)双曲线. 中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线b2x2-a2y2=a2b2的 参数方程为___________ (φ为参数) (5)抛物线. 抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为__________ (α为参 数)或__________ (t为参数) 【易错警示】 (1)直线的标准参数方程为 (t为参数) ①参数t的几何意义:即t为有向线段 的数量,并 注意t的正负值. ②参数t的几何意义中有如下常用结论: (i)若M1,M2为直线上任意两点:M1,M2对应t的值分别为 t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|. (ii)若M0为M1M2的中点,则有t1+t2=0. (iii)弦M1M2的中点为M,则M0M=tM= (2)直线的参数方程的一般式 (t为参数)只 有当a2+b2=1且b>0时,具有上述几何意义(若b0时, 参数方程 同样具有上述几何意义. (3)应用上述公式解题时,一定要区分直线的参数方程 是否为标准形式,以免出现错误. 类型一 参数方程化为普通方程 【典例1】把下列参数方程化成普通方程: (1) (θ为参数) (2) (t为参数,a,b>0) 【解析】(1)由 所以5x2+4xy+17y2-81=0. (2)由题意,得 所以①2-②2得 所以 =1,其中x>0. 【方法技巧】参数方程化为普通方程的注意事项 (1)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值 范围保持一致,由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围,注意参数方程与消去参数后所得的普通方 程同解性的判定. (2)消除参数的常用方法有:①代入消参法;②三角消参 法;③根据参数方程的特征,采用特殊的消参手段. 【变式训练】1.抛物线 (t为参数)的准线方程 是 (  ) A.x=1    B.x=-1 C.y=1 D.y=-1 【解析】选D.化参数方程为直角坐标方程,得x2=4y,其 准线方程为y=-1. 2.判断方程 (θ是参数且θ∈(0,π)) 表示的曲线的形状. 【解析】两式平方相减得x2-y2=4, 因为θ∈(0,π),所以x=sinθ+ ≥2, y=sinθ- = ≤0, 所以方程表示的曲线是等轴双曲线 =1的右支在 x轴及其下方的部分. 类型二 直线与圆的参数方程的应用 【典例2】(2016·沈阳高二检测)在直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为 (α为参数),在以坐标 原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的 极坐标方程为 (1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程. (2)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P(-1,1),求 |PB|+|AB|的最小值. 【解题指南】(1)利用sin2α+cos2α=1消去参数,可得 曲线C的普通方程,根据 即可得直线l在该 直角坐标系下的普通方程. (2)作点P关于直线的对称点Q,利用|PB|+|AB|=|QB|+ |AB|≥|QC|-1,仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间 时等号成立,可求得最小值. 【解析】(1)由曲线C的参数方程 可得 (x-2)2+y2=1, 由直线l的极坐标方程为 可得 ρ(sinθ+cosθ)=4,即x+y=4. (2)方法一:设P关于直线l的对称点为Q(a,b), 故 所以Q(3,5), 由(1)知曲线C为圆,圆心C(2,0),半径r=1, |PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1. 仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,故 (|PB|+|AB|)min= -1. 方法二:如图,圆心C关于直线l的对称点为D(4,2),连接 PD,交直线l于点B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|-1=|PB|+|BD| -1≥|PD|-1= -1. 【延伸探究】若本例的条件不变,圆心为C,如何在直线 l上求一点B,使|PB|+|BC|取得最小值?求出最小值. 【解析】如典例中的解析图可知,圆心C关于直线的对 称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|BC|= |PB|+|BD|≥|PD|= 求得B的坐标为 【方法技巧】几何性质在求最大值或最小值中的应用 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求 法,常常利用对称性以及两点之间线段最短解决. (2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题,常 常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等. 【变式训练】1.(2016·成都高二检测)已知极坐标的 极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合. 曲线C的参数方程为 (φ为参数),直线l的极坐 标方程是ρ(cosθ+2sinθ)=15.若点P,Q分别是曲线C 和直线l上的动点,则P,Q两点之间距离的最小值是(  ) 【解析】选C.曲线C的参数方程为 (φ为参数) 的普通方程为 =1,直线l:ρ(cosθ+2sinθ)=15 的直角坐标方程是x+2y-15=0. 因为点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,设P(3cosθ, 2sinθ),P到直线的距离为d= 2.(2016·黄石高二检测)已知曲线C的极坐标方程是 ρ=2sinθ,直线l的参数方程是 (t为参数). (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求|MN| 的最大值. 【解题指南】(1)利用公式 将极坐标方程化 为直角坐标方程. (2)将直线的参数方程化为普通方程,利用几何性质计 算最大值. 【解析】(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ, 又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0. (2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y=- (x -2),令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0). 又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(0,1),半径r=1, 则|MC|= .所以|MN|≤|MC|+r= +1. 所以|MN|的最大值为 +1. 类型三 直线与圆锥曲线的综合题 【典例3】求椭圆 =1上的点到直线l:x+2y-10=0 的最小距离及相应的点P的坐标. 【解析】设椭圆 =1上的点P(2cosθ, sinθ), P到直线l:x+2y-10=0的距离为d= 当且仅当sin(θ+ ) =1 即θ= 时取等号,最小距离为 此时点P(2cos , sin )，即P 为所求. 【方法技巧】椭圆的参数方程以及应用 长半轴为a,短半轴为b,中心在原点的椭圆 =1 (a>b>0)的参数方程为 (θ为参数)椭圆的参 数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有 着广泛的应用,通常将上述问题转化为三角函数的性质 加以解决. 【变式训练】1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中, 圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求C的极坐标方程. (2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于 A,B两点,|AB|= ,求l的斜率. 【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0, 由 可知圆C的极坐标方程为 ρ2+12ρcosθ+11=0. (2)由题意可得直线过原点且斜率存在, 记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0, 由垂径定理及点到直线距离公式知: 即 整理得k2= ,则k=± . 2.(2016·临汾高二检测)在平面直角坐标系xOy中,曲 线C的参数方程为 (t为参数)以坐标原点为 极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐 标方程为3ρcosθ+2ρsinθ=12. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程. (2)若直线l与曲线C交于A,B两点,M为曲线C与y轴负半 轴的交点,求四边形OMAB的面积. 【解析】(1)由 所以 =(cost)2+(sint)2=1. 所以曲线C的普通方程为 在3ρcosθ+2ρsinθ=12中,由ρcosθ=x,ρsinθ= y得3x+2y-12=0. 所以直线l的直角坐标方程为3x+2y-12=0. (2)由(1)可得M(0,-2 ),联立方程 易得A(4,0),B(2,3), 所以四边形OMAB的面积为 ×4×(3+2 )=6+4 . 类型四 用参数法求轨迹方程 【典例4】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1 交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方 程. 【解析】设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2), (k≠0) 由l1⊥l2,则直线l2的方程为y-4=- (x-2), 所以l1与x轴交点A的坐标为 l2与y轴交点B的坐标为 因为M为AB的中点,所以 (k为参数) 消去参数k,得x+2y-5=0. 另外,当k=0时,l1与x轴无交点; 当k不存在时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程. 综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0. 【方法技巧】建立参数求动点轨迹方程的方法步骤 (1)首先根据运动系统的运动规律设参数,然后运用这 些参数列式,再从这些式子中消参,最后讨论轨迹的纯 粹性和完备性. (2)参数法求轨迹方程的关键是设参数,参数不同,整个 思维和运算过程不同,若设参数不当,则会增大运算量. (3)用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或 几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数 量,直线的斜率,点的横、纵坐标等.也可以没有具体的 意义,选定参变量还要特别注意参数的取值范围. 【变式训练】1.动圆x2+y2-2axcosθ-2bysinθ=0(a,b 是正常数,a≠b,θ是参数)的圆心的轨迹是 (  ) A.直线   B.圆   C.椭圆   D.双曲线 【解析】选C.动圆x2+y2-2axcosθ-2bysinθ=0(a,b是 正常数,a≠b,θ是参数)的圆心坐标的参数方程为 普通方程为 =1(a>0,b>0,a≠b),这 是椭圆的普通方程. 2.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦 OA,OB,求弦AB的中点M的轨迹方程. 【解析】设M(x,y),直线OA的斜率为k(k≠0), 则直线OB的斜率为- .直线OA的方程为y=kx, 同理可得B(2pk2,-2pk). 由中点坐标公式,得 (k为参数) 消去k,即得点M的轨迹方程y2=p(x-2p).