九年级数学上册21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法课件（新人教版）

21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 21.2.3 因式分解法 学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重 点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方 程.（难点） 情境引入 我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将 学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候 落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看吧！ 导入新课 讲授新课 因式分解法解一元二次方程一 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高 度(单位：m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物 体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)? 分析：设物体经过 x s落回地面， 这时它离地面的高度为0 m ，即 10x-4.9x2 =0 ① 解： 解： ∵ a=4.9,b=-10,c=0. ∴ b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0 =100. 公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0. 方程可化为4.9x2-10x=0. 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x-4.9x2 =0 ① x(10-4.9x) =0 x =0 10-4.9x=0 ② 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化 为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 试一试：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x-2)=0； (1) x1=0，x2=2； (2) (y+2)(y-3)=0； (2) y1=-2，y2=3 ； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (3) x1=-2，x2=2； (4) x2=x. (4) x1=0，x2=1. 例1 解下列方程： 解：(1)因式分解，得 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x－1=0, (x－2)(x＋1)=0. 典例精析 练一练 解下列方程： (1)(x+1)2=5x+5； ∴x1=4，x2=-1． (2)x2-6x+9=(5-2x)2． 解：∵(x+1)2=5(x+1)， ∴(x+1)2-5(x+1)=0， 则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， 解：方程整理得(x-3)2-(5- 2x)2=0，则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5- 2x)]=0， ∴-x+2=0，或3x-8=0， x1=2，x2= . 十字相乘法拓展提升 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成 两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b ，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解. 步骤： ①①竖分竖分二次项与常数项二次项与常数项 ②②交叉交叉相乘，积相加相乘，积相加 ③③检验确定，检验确定，横写横写因式因式 简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中. 试一试 解方程：x2+6x-7=0. 解：因式分解得 ((xx+7)(+7)(xx-1)=0.-1)=0. ∴∴xx+7=0,+7=0,或或xx-1=0.-1=0. ∴∴xx11=-=-7,7,xx22=1.=1. 练一练 解下列方程： (1)x2-5x+6=0； 解：分解因式， 得(x-2)(x-3)=0， (3)(x+3)(x-1)=5； 解：整理得x2+2x-8=0 ， (4)2x2-7x+3=0. (2)x2+4x-5=0； 解：分解因式， 得(x+5)(x-1)=0， 解：分解因式， 得(2x-1)(x-3)=0， 解得x1=2，x2=3. 解得x1=-5，x2=1． 解得x1=-4，x2=2. 分解因式， 得(x+4)(x-2)=0， 解得x1= ，x2=3. 灵活选用方法解方程二 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. ∴ x 1= 0 , x2= 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可用直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. (3) x2 - 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1. 开平方，得 解得 x1= ， x2= 解：化为一般形式 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 分析：二次项系数为1，一次项系数 为偶数，可用配方法来解题较快. 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62 , 即 (x - 6)2 = 40. 分析：二次项的系数不为1，且不能 直接开平方，也不能直接因式分解， 所以适合公式法. 1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时 (ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0( ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先 化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若 容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配 方法也较简单. 要点归纳 解法选择基本思路 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0) (x+m)2＝n (n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0 (a≠0 ， b2 - 4ac≥0) (x + m) (x + n)＝0 ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 当堂练习 1.填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 注意：每个题都有 多种解法，选择更 合适的方法，可以 简化解题过程！ 2.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= . x2+x-2=0 -2 1 3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请 改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18. 解：原方程化为： (x-5)(x+2)=3×6 . ① 由x-5=3，得x=8； ② 由x+2=6，得x=4； ③ 所以原方程的解为x1=8或x2=4. 解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4. 解：化为一般式为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 ) 2 = 0. 有 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0 ， 4.解方程： (4)x2+4x-2=2x+3；(3)2x2-5x+1=0； 解：a=2，b=-5，c=1， ∴△=(-5)2-4×2×1=17． 解：整理，得x2+2x=5 ，∴x2+2x+1=5+1， 即(x+1)2=6， (5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0． 解法一： 解：方程整理得 9m2-9m=0. 分解因式，得9m (m-1)=0. 解得m1=0，m2=1． 解法二： 解：分解因式，得 (3m+2-2)(3m+2-5)=0. ∴3m+2-2=0，或 3m+2-5=0， 解得m1=0，m2=1． 将(3m+2)当一个整体，进行 因式分解 5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地 面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r ，根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径为 挑战自我 (2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程 x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________; (1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2- 5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________; (3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次 方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是 ________. 11或12 13 12 与三角形结合时，要考虑三 角形的三边关系！ 课堂小结 因式分解法 概 念 步 骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0.原 理 当右边=0时， 将方程左边 因式分解. 因式分解常见的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c)； a2±2ab+b2=(a±b)2； a2-b2=(a +b)(a -b).