高中数学（人教版选修1-1）：第1章 常用逻辑用语1.1.2~1.1.3 .pptx

1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系 第一章 § 1.1 命题及其关系 1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题. 2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系. 3.会利用逆否命题的等价性解决问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点一 四种命题的概念 (1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的 ，那么这两个命题叫做 .其中一个命题叫做 ， 另一个叫做原命题的 . (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题 的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做 .其中一个命题叫做 原命题，另一个叫做原命题的 . (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个 命题的 和 ，这两个命题叫做 .其中一个 命题叫做原命题，另一个叫做原命题的 . 答案 结论和条件 互逆命题 原命题 逆命题 互否命题 否命题 结论的否定 条件的否定 互为逆否命题 逆否命题 知识点二 四种命题的真假性的判断 原命题为真，它的逆命题 ；它的否命题也 .原命题 为真，它的逆否命题 . 不一定为真 不一定为真 一定为真 答案 若綈q,则綈p 若綈p,则綈q 若綈q,则綈p 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 四种命题的概念 例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)若m·n0，则m＋n>0，真命题. 逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题. (4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B. 解 逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题. 否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题. 逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题. 反思与感悟 反思与感悟 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题 的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题. (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能 改变条件和结论. 解析答案 跟踪训练1 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、 逆否命题，并判断其真假. (1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零； 解 该命题为真命题. 逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题. 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题. 逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题. 解析答案 (2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4acb”的逆命题. 其中是真命题的是________. 反思与感悟 解析 ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数， 则xy＝1”，是真命题； ②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的 四边形不是正方形”，是真命题； ③“梯形不是平行四边形”本身是真命题， 所以其逆否命题也是真命题； ④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b， 则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 答案 ①②③ 反思与感悟 反思与感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系， 注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要 对有关知识熟练掌握. 解析答案 跟踪训练2 下列命题为真命题的是(  ) ①“正三角形都相似”的逆命题； ②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题； ③“若x－ 是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A.①②③ B.②③ C.①② D.①③ 解析 ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是 正三角形”， 故为假命题. ②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”. ∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m0， ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0， 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0， 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真. 解析答案 解析答案 思想方法 化归思想的应用 例4 判断命题“若x2－y2≠0，则x－y，x＋y中至少有一个不等于0”的真假. 分析 原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题 的真假性容易判断，则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就 可以解决原命题的真假性问题了. 解 原命题的逆否命题：若x－y，x＋y都等于0， 则x2－y2＝0. 由x－y＝0，x＋y＝0，得x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0. 因此，原命题的逆否命题是真命题. 所以原命题是真命题. 解后反思 条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时，会有一定的困难， 这时最好转化为判断其逆否命题的真假，这种化归的思想是解题的重 要思想方法. 解后反思 解析答案 易错点 根据已知集合求参数范围 例5 已知p：M＝{x|x2－2x－80≤0}，q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}.如果 “若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，求实数m的取值范围. 分析 先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可. 解 p：M＝{x|x2－2x－80≤0}＝{x|－8≤x≤10}， q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0} 因为“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，所以MN， 返回解后反思 ＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}. 由“若p，则q”为真，“若q，则p”为假，得M⊆N，但N M，故MN， 即“1－m与－8”和“1＋m与10”不能同时取等号.事实上，当m＝9时，两 个集合相等. 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(  ) A.若a∉A，则b∉B B.若a∈A，则b∉B C.若b∈B，则a∉A D.若b∉B，则a∉A 解析 命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互 为否定形式. B 解析答案 1 2 3 4 5 2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是(  ) A.若A∪B＝B，则A∩B＝A B.若A∩B≠A，则A∪B≠B C.若A∪B≠B，则A∩B≠A D.若A∪B≠B，则A∩B＝A 解析 注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”. C 1 2 3 4 5 3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是 _________________________________________， 它 是 ______命 题 (填“真”或“假”). 若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线 假 答案 解析答案 4.给出以下命题： ①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是_____. 解析 ①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题. ②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题. ③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0， ∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真. ∴逆否命题为真. 1 2 3 4 5 ③ 解析答案 1 2 3 4 5 假 课堂小结 返回 1.写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p和结论q； (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q； (3)按照四种命题的结构写出所求命题. 2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断， 这也是反证法的理论基础.