人教版高中数学选修4-4课件：模块复习课 第一课 （共39张PPT） .ppt

第一课  坐 标 系  【网络体系】 【核心速填】 1.坐标伸缩变换公式 设点P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: ____________的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′, y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称 伸缩变换. 2.极坐标与直角坐标的互化公式 点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 3.圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式 (a>0) a 2acosθ -2acosθ 2asinθ 2acos(θ-φ)-2asinθ 4.直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式 5.柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式 设空间一点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ, z),球坐标为(r,φ,θ),则 空间直角坐标(x,y,z) 转换公式 柱坐标 (ρ,θ,z) 球坐标 (r,φ,θ) 【易错警示】 1.关于伸缩变换公式的注意事项 (1)伸缩变换不改变点所在的象限,坐标轴上的点经过 伸缩变换仍在坐标轴上. (2)求曲线经过伸缩变换后的曲线方程,要分清变换前 后的点的坐标,常常运用代入法求解. 2.点的直角坐标化为极坐标的注意事项 在化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ≥0,θ∈[0, 2π),即θ取最小正角,由tanθ= (x≠0)求θ时,必须 根据角θ的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ的值. 类型一 平面直角坐标系 【典例1】说出由曲线y=tanx得到曲线y=3tan2x的变换 规律,并求出满足其图形变换的伸缩变换. 【解析】y=tanx的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 , 得到y=tan2x.再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标 不变,得到曲线y=3tan2x. 设变换为 则μy=3tan2λx, 即y= tan2λx. 与y=tanx比较,则有μ=3,λ= . 所以所求的变换为 【方法技巧】伸缩变换公式及其应用 (1)设点P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点,在变 换φ: 的作用下,点P(x,y)对应到点 P′(x′, y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换,简称伸缩变换. (2)①求曲线关于伸缩变换公式变换后的曲线方程,一 般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联 系,这可以通过上标符号进行区分; ②椭圆通过适当的伸缩变换可以为圆.直线和椭圆的位 置关系问题利用伸缩变换公式变换为直线和圆的位置 关系利于解决. 【变式训练】1.圆x2+y2=4经过伸缩变换 后的 图形的方程为________. 【解析】由 代入x2+y2=4得 故圆经过已知伸缩变换后的方程为 答案: 2.在伸缩变换 的作用下某曲线C的方程变为y= cos2x,试求曲线C的方程. 【解析】由 得 y=cos x， 即y=cosx,故曲线C的方程为y=cosx. 类型二 极坐标系与极坐标方程 【典例2】(2016·晋中高二检测)在极坐标系中,已知 ☉O1和☉O2的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ= 2asinθ (a为常数), (1)分别将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)若两圆的圆心距为 ,求a的值. 【解析】(1)将极坐标方程ρ=2cosθ,ρ=2asinθ, 分别化为直角坐标方程为 x2+y2-2x=0和x2+y2-2ay=0. (2)两圆的圆心坐标分别为O1(1,0)和O2(0,a), 由|O1O2|= ,得1+a2=5,解得a=±2. 【延伸探究】若本例的条件不变,是否存在实数a,使两 圆相切? 【解析】因为两圆x2+y2-2x=0和x2+y2-2ay=0都经过原 点,且原点与两圆心不共线,所以不存在实数a使两圆相 切. 【方法技巧】关于点的极坐标与曲线的极坐标方程的 问题 (1)点与直角坐标之间建立的是一一对应关系,而点与 极坐标之间不能建立一一对应关系,在ρ>0,极角满足 [0,2π)的条件下,点与极坐标是一一对应的. (2)极坐标系中的曲线问题主要涉及直线、圆的方程、 直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等问题.将 极坐标方程转化为直角坐标方程是解决位置关系、计 算距离等问题的关键. 【变式训练】1.(2016·丰城高二检测)若 是极坐标系中的一点,则 (k∈Z)四点中与P重合的点有 (  ) A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 【解析】选D.点 的直角坐标为(-1, ),且 (k∈Z)四点的 直角坐标分别为Q(-1, ),R(-1, ),M(-1, ), N(-1, ),所以与P重合的点有4个. 2.在极坐标系中,求由三条曲线θ=0,θ= ,ρcosθ+ ρsinθ=1围成的图形的面积. 【解析】曲线ρcosθ+ ρsinθ=1的直角坐标方程 为x+ y-1=0.它与x轴的交点为B(1,0). 曲线θ= 的直角坐标方程为 x-y=0. 它们的交点坐标为 所以由三条曲线θ=0,θ= ,ρcosθ+ ρsinθ= 1围成的图形如图所示. 所以S= 类型三 柱坐标系与球坐标系 【典例3】已知点A的柱坐标为 ,求它的直角坐 标与球坐标. 【解析】由得 故点A的直角坐标为(1,1, ). 故点A的球坐标为 【方法技巧】 1.坐标之间的互化公式 其中ρ≥0,0≤θ