人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1 .ppt

第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不 等 式 1.不等式的基本性质 【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系 a-b>0 a-b=0 a-bb⇔____. (2)传递性:a>b,b>c⇒____. (3)可加性:____⇔a+c>b+c. bc a>b (4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______; 如果a>b,cb>0,那么an__bn(n∈N,n≥2). (6)开方:如果a>b>0,那么 __ (n∈N,n≥2). ac>bc ac> 【即时小测】 1.若a1-1不成立. 2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立. 【归纳总结】 1.符号“⇒”和“⇔”的含义 “⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关 系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的 条件. 2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以 把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质(3)是可 逆的,即a>b⇔a+c>b+c. 3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆 的. 4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成 立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正 负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2”都需 要注意. 类型一 作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么? 提示:常用作差比较法. 【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4) =(m-n)m3-n3(m-n) =(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2) 又m≠n,所以(m-n)2>0, 因为 所以x-y>0,故x>y. 【方法技巧】作差比较法的四个步骤 【变式训练】 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小 关系是_________. 【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0, 所以f(x)>g(x). 答案:f(x)>g(x) 2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2 =x2(x-y)-y2(x-y) =(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y), 因为x>0,y>0, 所以(x-y)2(x+y)≥0, 所以x3+y3≥x2y+xy2. 类型二 不等式性质的简单应用 【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)a>b>0,则 (2)c>a>b>0,则 (3)若 ,则ad>bc. (4)设a,b为正实数,若a- 0,所以a>b两边同乘以 得 得 > ,故正确. (2)因为c-a>0,c-b>0,且c-a0, 又a>b>0,所以 ,正确. (3)由 ,所以 >0, 即ad>bc且cd>0或add>0, 所以 >0,故 ①错误. a2+b2+5-2(2a-b) =a2+b2+5-4a+2b=(a-2)2+(b+1)2≥0, 所以②正确. 答案:② 2.若a0,c>d>0.求证: 【证明】因为a>b>0,所以0< 因为c>d>0,所以0< 所以 所以 所以 即 又a,c,b,d均大于0, 所以 所以 2.已知a>0,b>0,c>0,d>0,且 ,求证: 【证明】因为a>0,b>0,c>0,d>0且 ,所以ad>bc, 所以ad+cd>bc+cd,即d(a+c)>c(b+d), 所以 自我纠错 作差法比较大小 【典例】设a+b>0,n为偶数, 的大小关系为_______________. 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略 了在题设条件a+b>0且没有明确字母的具体值的情况下, 要考虑分类讨论,即对a>0,b>0和a,b有一个负值的情况 加以讨论.正确解答过程如下: 【解析】 (1)当a>0,b>0时,(an-bn)(an-1-bn-1)≥0,(ab)n>0, (2)当a,b有一个为负数时,不妨设a>0,b0, 所以a>|b|.又n为偶数,所以(an-bn)·(an-1-bn-1)>0,且 (ab)n>0, 故 即 综合(1)(2)可知, 答案: