2.基本不等式
【自主预习】
1.重要不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2___2ab,当且仅当____
时,等号成立.
≥ a=b
2.基本不等式
(1)定理2:如果a,b>0,那么__________.
当且仅当____时,等号成立.
a=b
(2)定理2的应用:对两个正数x,y,
①如果它们的和S是定值,则当且仅当____时,它们的
积P取得最___值;
②如果它们的积P是定值,则当且仅当____时,它们的
和S取得最___值.
x=y
大
x=y
小
【即时小测】
1.已知x>3,则x+ 的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.5 D.7
【解析】选D.x>3,则
当且仅当x=5时等号成立.
2.x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则 ( )
A.x+y≥2( +1) B.xy≤ +1
C.x+y≤( +1)2 D.xy≥2( +1)
【解析】选A.因为xy-(x+y)≤xy-
所以xy- ≥1,解得xy≥3+ .
又xy-(x+y)≤ (x+y)2-(x+y),
(x+y)2-(x+y)≥1,解得x+y≥2( +1).
3.函数f(x)= 的值域为_________ .
【解析】f(x)=
答案:
【知识探究】
探究点 基本不等式
1.在基本不等式 中,为什么要求a>0,b>0?
提示:因为若a0.
2.若f(x)=x+ ,则f(x)的最小值为2吗?
提示:f(x)的最小值不是2,只有当x>0时,f(x)的最小
值才是2.
【归纳结】
1.理解基本不等式的两个关键点
一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的
条件是当且仅当a=b时.
2.利用 求最值的三个条件
(1)各项或各因式为正.
(2)和或积为定值.
(3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点
定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是
a>0,b>0.
4.两个不等式定理的常形
(1)ab≤ (2)ab≤ (a>0,b>0).
(3) ≥2(ab>0).(4)
(5)a+b≤
上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.
型一 利用基本不等式求最值
【典例】1.(2015·湖南高考)若数a,b满足
,则ab的最小值为 ( )
A. B.2 C.2 D.4
2.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求x·y的最大值.
【解题探究】1.如何利用条件?
提示:根据 可得a>0,b>0,然后借助基本不
等式 构造关于 的不等式.
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件?
提示:由x+2y+xy=30,得y=
【解析】1.选C.因为 ,所以a>0,b>0,由
所以ab≥2 (当且仅当
b=2a时取等号),所以ab的最小值为2 .
2.由x+2y+xy=30,得y= (00,y>0时
,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为_________.
【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求
最值的基本方法.
【解析】x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x=
所以所求的最小值为 .
答案:
2.为确保巴西世界杯决赛的顺利
进行,组委会决定在位于里约热内卢
的拉卡纳体育场外临时围建一个
矩形观众候场区,面积为72m2(如图所示),要求矩形
场地的一面利用体育场的外,其余三面用栏杆围,
并且要在体育馆外对面留一个度为2m的入口.现已
知栏杆的租用费用为100元/m.该矩形区域的为
x(单位:m),租用栏杆的费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数.
(2)试确定x,使得租用此区域所用栏杆所需费用最小,
并求出最小费用.
【解析】(1)依题意有:y= 其中x>2.
(2)由基本不等式可得:y=
当且仅当 =x,即x=12时取“=”.
综上:当x=12时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最
小,最小费用为2200元.
【偿训练】物园要围成相同面积的方形虎笼四
.一面可利用原有的,其他各面(不包括上盖和地面
)用筋网围成.
(1)现有36m的材料,每虎笼的、宽各计为多少
时,可使每虎笼面积最大?
(2)若使每虎笼面积为24m2,则每虎笼的、宽各
计为多少时,可使围成四虎笼的筋网最小?
【解题指南】设每间虎笼长xm,宽ym,则问题(1)是在
4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而问题(2)则是在
xy=24的前提下求4x+6y的最小值,使用基本不等式解决.
【解析】设每间虎笼长为xm,宽为ym,
(1)由条件得4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S,则S=xy.
方法一:由于2x+3y≥
所以2 ≤18,得xy≤ ,
即S≤ ,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=9- y.
因为x>0,所以00,且a+b+c=1,证明:
(1)a2+b2+c2≥ .
(2)
【解题探究】典例中如何建立a2与a的不等关系?
提示:由 可建立a2与a的不等关系.
【证明】(1)由
相加得:a2+b2+c2+
当且仅当a=b=c= 时取等号.
所以a2+b2+c2≥ .
(2)由a>0,b>0,c>0,所以
相加得:
所以
当且仅当a=b=c= 时取等号.
【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的方法与技
巧
(1)方法:用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等
式两式子的结构特点进行恒等形,使之具基本不
等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其
形形式进行证明.
(2)技巧:对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结
论结合起来,寻找出形的思路,构造出基本不等式,切
忌两次使用基本不等式用传性证明,有时等号不能同
时取到.
【式训练】1.已知a,b都是正数,且a+b=1.
求证:
【证明】
当且仅当 即a=b时,等号成立.
故
2.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1.
求证:
【证明】因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1.
当且仅当 即a=b=c时,等号成立.
所以
拓展型 利用基本不等式比较大小
【典例】若a>b>1,P=
(lga+lgb),R=lg ,试比较P,Q,R的大小关系.
【解析】因为a>b>1,
所以lga>0,lgb>0,
所以P=
又Q= (lga+lgb)=lg ,而
所以 即Q0,b>0,
所以
当且仅当a=b时取等号.
又函数f(x)=lgx是增函数,
所以P≥G≥Q.
2.已知a>b>c,比较 的大小关系.
【解题指南】将 表示成 ,用基本
不等式比较大小.
【解析】因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以
当且仅当a-b=b-c即2b=a+c时取等号.
自我纠错 正确运用基本不等式
【典例】给出下面三个推导过程:
(1)因为a,b∈(0,+∞),所以
(2)因为x,y∈(0,+∞),所以lgx+lgy≥
(3)因为a∈R,a≠0,所以
其中正确的推导过程的序号为_____________.
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件,
忽视了(2)(3)中的变量可能为负值而致误.正确解答过
程如下:
【解析】从基本不等式成立的条件考虑.
(1)因为a,b∈(0,+∞),所以 ∈(0,+∞),符合基
本不等式的条件,故(1)的推导过程正确.
(2)虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,
当y∈(0,1)时,lgy是负数,所以(2)的推导过程是错误
的.
(3)因为a∈R,不符合基本不等式的条件,
所以 是错误的.
答案:(1)
微信/支付宝扫码支付