人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.2 .ppt

2.基本不等式 【自主预习】 1.重要不等式 定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2___2ab,当且仅当____ 时,等号成立. ≥ a=b 2.基本不等式 (1)定理2:如果a,b>0,那么__________. 当且仅当____时,等号成立. a=b (2)定理2的应用:对两个正数x,y, ①如果它们的和S是定值,则当且仅当____时,它们的 积P取得最___值; ②如果它们的积P是定值,则当且仅当____时,它们的 和S取得最___值. x=y 大 x=y 小 【即时小测】 1.已知x>3,则x+ 的最小值为 (  ) A.2 B.4 C.5 D.7 【解析】选D.x>3,则 当且仅当x=5时等号成立. 2.x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则 (  ) A.x+y≥2( +1) B.xy≤ +1 C.x+y≤( +1)2 D.xy≥2( +1) 【解析】选A.因为xy-(x+y)≤xy- 所以xy- ≥1,解得xy≥3+ . 又xy-(x+y)≤ (x+y)2-(x+y), (x+y)2-(x+y)≥1,解得x+y≥2( +1). 3.函数f(x)= 的值域为_________ . 【解析】f(x)= 答案: 【知识探究】 探究点 基本不等式 1.在基本不等式 中,为什么要求a>0,b>0? 提示:因为若a0. 2.若f(x)=x+ ,则f(x)的最小值为2吗? 提示:f(x)的最小值不是2,只有当x>0时,f(x)的最小 值才是2. 【归纳结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时. 2.利用 求最值的三个条件 (1)各项或各因式为正. (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值. 3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0. 4.两个不等式定理的常形 (1)ab≤ (2)ab≤ (a>0,b>0). (3) ≥2(ab>0).(4) (5)a+b≤ 上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b. 型一 利用基本不等式求最值 【典例】1.(2015·湖南高考)若数a,b满足 ,则ab的最小值为 (  ) A.    B.2    C.2    D.4 2.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求x·y的最大值. 【解题探究】1.如何利用条件? 提示:根据 可得a>0,b>0,然后借助基本不 等式 构造关于 的不等式. 2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 【解析】1.选C.因为 ,所以a>0,b>0,由 所以ab≥2 (当且仅当 b=2a时取等号),所以ab的最小值为2 . 2.由x+2y+xy=30,得y= (00,y>0时 ,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为_________. 【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求 最值的基本方法. 【解析】x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x= 所以所求的最小值为 . 答案: 2.为确保巴西世界杯决赛的顺利 进行,组委会决定在位于里约热内卢 的拉卡纳体育场外临时围建一个 矩形观众候场区,面积为72m2(如图所示),要求矩形 场地的一面利用体育场的外,其余三面用栏杆围, 并且要在体育馆外对面留一个度为2m的入口.现已 知栏杆的租用费用为100元/m.该矩形区域的为 x(单位:m),租用栏杆的费用为y(单位:元). (1)将y表示为x的函数. (2)试确定x,使得租用此区域所用栏杆所需费用最小, 并求出最小费用. 【解析】(1)依题意有:y=        其中x>2. (2)由基本不等式可得:y= 当且仅当 =x,即x=12时取“=”. 综上:当x=12时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最 小,最小费用为2200元. 【偿训练】物园要围成相同面积的方形虎笼四 .一面可利用原有的,其他各面(不包括上盖和地面 )用筋网围成. (1)现有36m的材料,每虎笼的、宽各计为多少 时,可使每虎笼面积最大? (2)若使每虎笼面积为24m2,则每虎笼的、宽各 计为多少时,可使围成四虎笼的筋网最小? 【解题指南】设每间虎笼长xm,宽ym,则问题(1)是在 4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而问题(2)则是在 xy=24的前提下求4x+6y的最小值,使用基本不等式解决. 【解析】设每间虎笼长为xm,宽为ym, (1)由条件得4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S,则S=xy. 方法一:由于2x+3y≥ 所以2 ≤18,得xy≤ , 即S≤ ,当且仅当2x=3y时,等号成立. 由 故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18,得x=9- y. 因为x>0,所以00,且a+b+c=1,证明: (1)a2+b2+c2≥ . (2) 【解题探究】典例中如何建立a2与a的不等关系? 提示:由 可建立a2与a的不等关系. 【证明】(1)由 相加得:a2+b2+c2+ 当且仅当a=b=c= 时取等号. 所以a2+b2+c2≥ . (2)由a>0,b>0,c>0,所以 相加得: 所以 当且仅当a=b=c= 时取等号. 【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的方法与技 巧 (1)方法:用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等 式两式子的结构特点进行恒等形,使之具基本不 等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其 形形式进行证明. (2)技巧:对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结 论结合起来,寻找出形的思路,构造出基本不等式,切 忌两次使用基本不等式用传性证明,有时等号不能同 时取到. 【式训练】1.已知a,b都是正数,且a+b=1. 求证: 【证明】 当且仅当 即a=b时,等号成立. 故 2.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1. 求证: 【证明】因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1. 当且仅当 即a=b=c时,等号成立. 所以 拓展型 利用基本不等式比较大小 【典例】若a>b>1,P= (lga+lgb),R=lg ,试比较P,Q,R的大小关系. 【解析】因为a>b>1, 所以lga>0,lgb>0, 所以P= 又Q= (lga+lgb)=lg ,而 所以 即Q0,b>0, 所以 当且仅当a=b时取等号. 又函数f(x)=lgx是增函数, 所以P≥G≥Q. 2.已知a>b>c,比较 的大小关系. 【解题指南】将 表示成 ,用基本 不等式比较大小. 【解析】因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0, 所以 当且仅当a-b=b-c即2b=a+c时取等号. 自我纠错 正确运用基本不等式 【典例】给出下面三个推导过程: (1)因为a,b∈(0,+∞),所以 (2)因为x,y∈(0,+∞),所以lgx+lgy≥ (3)因为a∈R,a≠0,所以 其中正确的推导过程的序号为_____________. 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件, 忽视了(2)(3)中的变量可能为负值而致误.正确解答过 程如下: 【解析】从基本不等式成立的条件考虑. (1)因为a,b∈(0,+∞),所以 ∈(0,+∞),符合基 本不等式的条件,故(1)的推导过程正确. (2)虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数, 当y∈(0,1)时,lgy是负数,所以(2)的推导过程是错误 的. (3)因为a∈R,不符合基本不等式的条件, 所以 是错误的. 答案:(1)