人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.3 .ppt

3.三个正数的算术-几何平均不等式 【自主预习】 1.三个正数的算术-几何平均不等式(定理3) 如果a,b,c∈R+,那么 ≥_______,当且仅当 ______时,等号成立. a=b=c 2.基本不等式的推广 对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们 的几何平均,即 ___ ,当且 仅当___________时,等号成立. ≥ a1=a2=…=an 【即时小测】 1.函数y=2x2+ (x∈R+)的最小值为 (  ) A.6     B.7     C.8     D.9 【解析】选A.因为x∈R+,所以 当且仅当x=1时等号成立. 2.若n>0,则 的最小值为 (  ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选C.因为 所以 当且仅当n=4时等号成立. 3.若a>b>0,则a+ 的最小值为_________. 【解析】因为a>b>0,所以a-b>0, 所以 当且仅当(a-b)=b= 时等号成立. 答案:3 【知识探究】 探究点 三个正数的算术-几何平均不等式 1.不等式 成立时,a,b,c的范围是什么? 提示:a>0,b>0,c>0. 2.应用三个正数的算术-几何平均不等式,求最值应注 意什么? 提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和 有最小值.求最值时应注意三个条件“一正、二定、三 相等”同时具备. 【归纳总结】 1.定理3的变形及结论 (1)abc≤ . (2)a3+b3+c3≥3abc. (3) 上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c. 2.利用定理3可确定代数式或函数的最值 (1)若a,b,c∈R+,且积abc为定值s时,由a+b+c≥ (定值),当且仅当a=b=c时,和a+b+c有最小值3 . (2)若a,b,c∈R+,且和a+b+c为定值p时,由abc≤ (定值),当且仅当a=b=c时,积abc有最大值 p3. 类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x 的最大值. 2.求函数y=x+ (x>1)的最小值. 【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值? 提示:可将式子(1-3x)2·x化为 (1-3x)(1-3x)·6x 的形式. 2.典例2中如何构造式子,使其积为定值? 提示:可将式子x+ 化为 则其积 为常数. 【解析】1.因为00, 所以y=(1-3x)2·x= (1-3x)·(1-3x)·6x 当且仅当1-3x=1-3x=6x, 即x= 时等号成立,此时ymax= . 2.因为x>1,所以x-1>0, 当且仅当 即x=3时等号成立,即ymin=4. 【延伸探究】1.若将典例1中的条件变为“y=x(1-x2) (00),则B(1,-1),代入抛物线方程可得 2p=1,所以抛物线方程为x2=-y,因为CD=2x,所以D(x,- x2), 所以梯形的高为1-x2,梯形的面积为S=(x+1)(1-x2), x∈(0,1), S=(x+1)(1-x2)= (x+1)2(2-2x) ≤ 当且仅当x+1=2-2x,即x= 时,S的最大值是 . 答案: 2.已知x>0,求y= +3x的最小值. 【解析】因为x>0,所以y= 当且仅当 即x=2时等号成立.故y= +3x 的最小值为9. 类型二 利用三个正数的算术-几何平均不等式证明 不等式 【典例】设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+ 【解题探究】典例可分几次使用不等式? 提示:分两次使用不等式. 【证明】因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3≥ =3abc>0,当且仅当a=b=c时,等号成立.又3abc+ 当且仅当3abc= 时,等号成立.所以a3+b3+c3+ 【方法技巧】证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件, 看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可 利用平均不等式证明. (2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造 出能利用三个正数的基本不等式的式子. 【变式训练】1.已知x,y均为正数,且x>y,求证: 2x+ ≥2y+3. 【证明】因为x>0,y>0,x-y>0, 所以2x+ -2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ 等号成立的条件是 =x-y,即x-y=1. 所以2x+ ≥2y+3. 2.(2016·哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足 a>b>c>d,求证: 【证明】因为a>b>c>d,所以a-b>0,b-c>0, c-d>0,a-d>0,所以 = [(a-b)+(b-c)+(c-d)] ≥ 当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即 【补偿训练】设a,b,c∈R+,求证: 【证明】因为 当且仅当c= 时取等号,所以原不等式成立. 拓展类型 平均不等式在解应用题中的应用 【典例】如图所示,在一张半径是2米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道, 灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小; 挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的. 由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这 一点到光源的距离r的平方成反比.即E=k . 这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎 样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮? 【解析】因为r= ,所以E= 所以E2= ·sin2θ·cos4θ= · (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ 当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,即tan2θ= ,tanθ= , 所以h=2tanθ= ,即h= 米时,E最大,此时桌子边缘 处最亮.故当灯的高度为 米时,才能使桌子边缘处最 亮. 【方法技巧】用不等式解决应用问题的方法 解应用问题的关键是读懂题意,建立适当的函数关系式, 把所求问题转化为求函数的最值问题,并将函数式配凑 成可以利用平均不等式的形式. 【变式训练】1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内 的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是 _________. 【解析】设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别 是x,y,z,三角形的面积为S.则S= (3x+4y+5z),又因为 32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S= ×3×4=6, 所以3x+4y+5z=2×6=12, 所以 ≤3x+4y+5z=12,所以(xyz)max= . 当且仅当3x=4y=5z,即x= ,y=1,z= 时等号成立. 答案: 2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售 量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系 式y= +10(x-6)2,其中3