高中数学（人教版选修1-1）：第1章 常用逻辑用语1.4.3 .pptx

1.4.3 含有一个量词的命题的否定 第一章 § 1.4 全称量词与存在量词 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们 的否定在形式上的变化规律. 2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的 否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点一 全称命题的否定 全称命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈p：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿. 知识点二 特称命题的否定 特称命题p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定綈p：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿. 知识点三 全称命题与特称命题的关系 全称命题的否定是 命题. 特称命题的否定是 命题. 答案 ∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 特称 全称 思考 (1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？ 答案 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“ 并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平 行四边形”. (2)对省略量词的命题怎样否定？ 答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命 题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“ 对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 全称命题的否定 例1 写出下列全称命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； 解 其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； 解 其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解； 解 其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在. (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解 其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 反思与感悟 反思与感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上 量词后进行否定. 解析答案 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数； 解 綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根； 解 綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. (4)p：对任意实数x，x2＋1≥0. 解析答案 题型二 特称命题的否定 例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. 解 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假). (2)p：有些素数是奇数； 解 綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假). 反思与感悟 反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的 量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立. 解析答案 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有 实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四 边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. 解析答案 题型三 特称命题、全称命题的综合应用 例3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由； 解 不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)， 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立， 此时，只需m>－4. 解析答案反思与感悟 (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 解 不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)， 若存在一个实数x0， 使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4， ∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞). 反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出 存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需 a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min. 解析答案 跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； 证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1， ∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0， ∴对任意x∈R，都有f(x)≤0. 解析答案 (2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围. 解 ∵f(x)≤4x恒成立， ∴3ax2＋2x－1≤0恒成立， 解析答案 易错点 含有一个量词的命题的否定 返回解后反思 例4 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)正方形都是菱形； 分析 (1)是省略了全称量词的全称命题，其否定是特称命题. (2)是特称命题，其否定是全称命题. 解 (1)有的正方形不是菱形.假命题. (2)∀x∈R，x2－4x－3≤0恒成立.假命题. 解后反思 含有一个量词的命题在否定时，往往只改变前面的量词， 而将后面的否定忽略，这种错误应当避免. 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p” 形式的命题是(  ) A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 解析 命题p是特称命题，其否定形式为全称命题， 即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则 (  ) A.綈p：∀x∈A,2x∈B B.綈p：∀x∉A,2x∉B C.綈p：∃x∉A,2x∈B D.綈p：∃x∈A,2x∉B 解析 命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题， 其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D. D 1 2 3 4 5 解析答案 3.对下列命题的否定说法错误的是(  ) A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形 C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形 D.p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100. 解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题： “所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. C 解析答案 1 2 3 4 5 解析 全称命题的否定是特称命题. C 解析答案 1 2 3 4 5 5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_______________________. 解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线” ，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”. 有的向量与零向量不共线 课堂小结 返回 1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的 全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“ 不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考 虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.