高中数学（人教版选修1-1）：第2章 圆锥曲线与方程2.1.1 .pptx

2.1.1 椭圆及其标准方程 第二章 § 2.1  椭  圆 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题. 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的 的点的轨迹叫 做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 知识点二 椭圆的标准方程 答案   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点 ____________ _______________ a、b、c的关系 __________ __________ (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 距离之和等于常数(大于|F1F2|) 椭圆 焦点 焦距 思考  (1)椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于 |F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答案 当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和 小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？ 答案 a，b的值及焦点所在的位置. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的 和是10； 解 因为椭圆的焦点在x轴上， 因为2a＝10，所以a＝5. 又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9. 解析答案 (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0). 解 因为椭圆的焦点在y轴上， 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 反思与感悟 反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再 用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数 即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴 上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭 圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形 式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的 坐标轴，从而简化求解过程. 解析答案 解 方法一 (1)当焦点在x轴上时， 解析答案 (2)当焦点在y轴上时， 此时不符合a>b>0，所以方程组无解. 解析答案 方法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)， 解析答案 题型二 椭圆定义的应用 例2 已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程； 解 依题意知|F1F2|＝2， |PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|， ∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆， 解析答案 (2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积. 解 设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2， ∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 120°)，解得mn＝12. 反思与感悟 反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多. 要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三 角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件， 利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立 三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体 来处理. 解析答案 所以a＝5， 故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB| ， 所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB| ＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝2a＋2a＝20. 解析答案 题型三 与椭圆有关的轨迹问题 例3  已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三 角形的顶点A的轨迹方程. 反思与感悟 解 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系xOy，如图所示. 由|BC|＝8可知点B(－4,0)，C(4,0). 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|， 因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆， 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上. 由a＝5，c＝4， 得b2＝a2－c2＝25－16＝9. 反思与感悟 反思与感悟 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件， 看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程. 解析答案 跟踪训练3  已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过 点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r. 又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6). ∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 思想方法 分类讨论思想的应用 解析答案 返回解后反思 解后反思 分析 已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是 直角，由|PF1|＞|PF2|，知∠PF2F1＞∠PF1F2，因此∠PF1F2不会是直角，但 是∠F1PF2与∠PF2F1都有可能为直角，故应分类讨论. 解析答案 根据直角的不同位置，分两种情况： 若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， 即|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20， 解后反思 若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， 即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2(由于|PF1|＞|PF2|， 分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准 方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论. 解后反思 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M 的轨迹是(  ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点M的轨迹是线段. D 解析答案 1 2 3 4 5 2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(   ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 1 2 3 4 5 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解析 根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3. 而|F1F2|＝4， 所以|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2， 所以△PF1F2是直角三角形，故选B. B 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析答案 1 2 3 4 5 由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝100. 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14， 所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100， 即196－2|PF1|·|PF2|＝100. 解得|PF1|·|PF2|＝48. 48 课堂小结 返回 1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a， 当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a0 ，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.