高中数学（人教版选修1-1）：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2（二） .pptx

2.1.2 椭圆的简单几何性质(二 ) 第二章 § 2.1 椭 圆 1.巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的 有关问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 答案 知识点二 直线与椭圆的位置关系 消去y得到一个关于x的一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 ___解 Δ__0 相切 ___解 Δ__0 相离 ___解 Δ__0 两 一 无 > ＝ 0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线 与椭圆相离⇔Δb>0)的左，右焦点， 过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 解 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. 解析答案 解 设|F1B|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 解析答案 题型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； 因为直线与椭圆有公共点， 解析答案 (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0， ∴当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x. 反思与感悟 反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如 不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要 正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多 的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用 根的判别式来确定参数的限制条件. 解析答案 解 ∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°， 即b＝2，且B(3,1). 解析答案 (2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3) ， ∴t－3＝－b，即b＝3－t. 显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得： 解析答案 返回解后反思 一题多解 求解椭圆中弦所在的直线方程 解析答案解后反思 分析 注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解. 解 方法一 由题意，知所求直线的斜率存在， 设此直线的方程为y＝k(x－2)＋1. 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 方法二 设所求直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为点P为弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又因为A，B在椭圆上， 解析答案解后反思 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 即x＋2y－4＝0. 方法三 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y). 因为弦中点为P(2,1)，所以另一个交点为B(4－x,2－y). 因为点A，B在椭圆上，所以x2＋4y2＝16， ① (4－x)2＋4(2－y)2＝16， ② 从而A，B在方程①－②所形成的图形上， 即在直线x＋2y－4＝0上. 又因为过A，B的直线只有1条， 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解后反思 解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程 联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关 系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点 差法整体表示直线斜率，进而求出参数. 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.直线y＝x＋2与椭圆 ＝1有两个公共点，则m的取值范围是(  ) A.m>1 B.m>1且m≠3 C.m>3 D.m>0且m≠3 ∵Δ>0，∴m>1或m0且m≠3， ∴m>1且m≠3. B 解析答案 1 2 3 4 5 2.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(  )B 1 2 3 4 5 解析答案 根据椭圆的性质结合△ABF2的特点， A 解析答案 1 2 3 4 5 4.椭圆x2＋4y2＝36的弦被点A(4,2)平分，则此弦所在的直线方程为(  ) A.x－2y＝0 B.x＋2y－4＝0 C.2x＋3y－14＝0 D.x＋2y－8＝0 解析 设以点A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于点E(x1，y1)，F(x2，y2)， ∵点A(4,2)为EF中点， 把E(x1，y1)，F(x2，y2)分别代入椭圆x2＋4y2＝36中， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 则①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴8(x1－x2)＋16(y1－y2)＝0， 整理得，x＋2y－8＝0. D 解析答案 1 2 3 4 5 ∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆， 其中F1F2为圆的直径. 由题意知，椭圆上的点P总在圆外， ∴|OP|>c恒成立， 由椭圆性质知|OP|≥b，∴b>c，∴a2>2c2， 课堂小结 返回 解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解.