高中数学（人教版选修1-1）：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2（一） .pptx

2.1.2 椭圆的简单几何性质(一 ) 第二章 § 2.1 椭 圆 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形. 2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质， 并能画出图象. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点一 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 答案 范围 _________，_________ _________，_________ 顶点 ________________， ___________________ ____________________， __________________ 轴长 短轴长＝___，长轴长＝___ 焦点 焦距 |F1F2|＝_________ 对称性 对称轴：_________ 对称中心：_____ 离心率 e＝ ∈____ －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 2b 2a x轴、y轴 原点 (0,1) 答案 返回 知识点二 离心率的作用 当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；当椭圆离心率越 ， 则椭圆越接近于圆. 接近1 接近0 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 椭圆的简单几何性质 例1 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. 则a＝5，b＝1. 因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2， 椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0). 反思与感悟 反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出 椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以 得到椭圆相应的几何性质. 解析答案 跟踪训练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、 顶点坐标和离心率. ∴椭圆的焦点在x轴上， 解析答案 题型二 由椭圆的几何性质求方程 例2  求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为 ，焦距为8； 解 由题意知，2c＝8，c＝4， 从而b2＝a2－c2＝48， 解析答案反思与感悟 反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而 确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后 列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法. 解析答案 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程， 又椭圆过点(3,0)， ∴点(3,0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3， 解析答案 ②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3， ∴a2＝3b2＝27， 解析答案反思与感悟 解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a，b，c. 且△MF1F2为直角三角形. 在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2， 整理得3c2＝3a2－2ab. 又c2＝a2－b2，所以3b＝2a. 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍， 且经过点A(5,0)，求椭圆C的离心率. 方法归纳 椭圆离心率的求法 解析答案 D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 点评 解析答案点评 返回 解析答案 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类 问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a. ① 即|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝|PF1||PF2|. ② ①式平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2. ③ 点评 方法二 如图，设椭圆与y轴交于B1，B2两点， 则当点P位于B1或B2处时， 点P对两焦点的张角最大， 故∠F1B2F2≥∠F1PF2＝60°，从而∠OB2F2≥30°. 点评 点 评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离 心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存 在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位 置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式， 极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况. 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 解析 由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10， D 解析答案 1 2 3 4 5 2.如图，已知直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B， 则椭圆的离心率为(  )D 1 2 3 4 5 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的 离心率是(  ) 解析答案 解析 由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b， 又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac， B 解析答案 1 2 3 4 5 解析 ∵焦点在y轴上，∴0