（人教版）高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.3 .ppt

数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值 的概念． 2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别 与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件 ． 3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 [问题1] 试说明y＝f(x)的极值． [提示1] f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数 的极小值． [问题2] 你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ [提示2] 函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函 数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一 条连续不断的曲线(如图所示)． [问题] 两函数的最值分别是什么？ [提示] y＝g(x)的最大值为极大值，最小值为g(a)，y＝ h(x)的最大值为h(a)，最小值为h(b)． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 连续不断的曲线，那么它必有__________与__________． 函数的最大(小)值 最大值 最小值 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．函数最值的理解 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局 部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最 大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值 可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值 也没有极小值． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得， 有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能 成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的__________； 2．将函数y＝f(x)的__________与_______处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是__________，最小的一个 就是__________． 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤： 极值 各极值 端点 最大值 最小值 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．求函数最值需注意的问题 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅 是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点． ②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的 最大值和最小值． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值 在端点处取得． (3)若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点时， 这个点的函数值必然是最值．例如在(－∞，＋∞)上函数只有 一个极值，那么这个极值也就是最值． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分 别是(  ) A．f(1)与f(－1)  B．f(1)与f(2) C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1) 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0， 即4－4x3>0⇒x0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋ ∞)上单调递增，无极值，也无最值． 答案： A 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求函数的最值 求下列函数的最值． [思路点拨] 要求区间[a，b]上函数的最值，只需求出 函数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)f(x)＝2x3－12x， 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 导数法求函数最值要注意的问题： (1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点， 同时还要找出导数不存在的点． (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0 的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最 大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值． 特别提醒：比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、 作商或分类讨论．   数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．求下列各函数的最值． (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 解析： (1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0得 x＝－1，或x＝0，或x＝1. 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. x －3 (－3 ，－ 1) －1 (－ 1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60  极大 值4  极小 值3  极大 值4  －5 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2. 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知函数的最值求参数 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解决由函数的最值来确定参数问题的关键是 利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系 数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号 的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义， 从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应 的方程，从而得出参数的值．   数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3， 最小值－29，求a，b的值． 解析： 依题意，显然a≠0. 因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]， 所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)． 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 由上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3. 又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)＞f(2)， 所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a ＝2. x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b  极大值  －16a＋b 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 与最值有关的恒成立问题 已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得 极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥ －2c2恒成立，求c的取值范围． [思路点拨]  数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最 值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知， 即函数是以已知范围的变量为自变量的函数． 一般地，λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max； λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.   数 学 选修2-2 第一章 导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋c，当x∈[－2,6]时， f(x)