人教版高中数学选修4-5课件：2.1比较法 .ppt

第二讲 证明不等式的基本方法 一 比 较 法 【自主预习】 比较法的定 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两 种. (1)作差比较法:要证明a>b,只要证明______;要证明 a0,b>0,要证明a>b,只要证明 >1;要证明b>a,只要证明_____.这种证明不等式的方 法,叫做作商比较法. a-b>0 a-b0,bb>-b>-a     B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 【解析】选C.由a+b>0,b-b>0,于是a>-b>b>-a. 2.a,b∈R且a+|b|0 B.a2+b2b; =1⇔a=b; 0,求证:aabb≥ 【解题探究】由指数函数的性质可知a,b满足什么条 件时ab>1? 提示:若00时,ab>1. 【证明】因为aabb>0, >0, 所以 所以当a=b时,显然有 =1; 当a>b>0时, 当b>a>0时, 由指数函数的单调性,有 综上可知,对任意a>0,b>0,都有aabb≥ 【延伸探究】 1.典例中的条件不,试证明:abba≤ 【证明】因为abba>0, >0, 所以 所以当a=b时,显然有 =1; 当a>b>0时, 当b>a>0时, 由指数函数的单调性,有 综上可知,对任意a>0,b>0,都有abba≤ 2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证: a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b. 【证明】由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0. 所证不等式左边除以右边,得 =aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b= 因为a>b>0,所以 >1,a-b>0,所以 >1. 同理 >1, >1. 所以 >1,所以a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b. 【方法技巧】作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商:将不等式左右两的式子进行作商. (2)形:化简商式到最简形式. (3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或 小于1或等于1. (4)得出结论. 【式训练】已知a>2,求证:loga(a-1)2,则a-1>1,所以loga(a-1)>0, log(a+1)a>0, 由于 =loga(a-1)·loga(a+1) 因为a>2,所以0a.