人教版高中数学选修4-5课件：2.2综合法与分析法 .ppt

二 综合法与分析法 【自主预习】 1.综合法 一般地,从_________出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这 种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因 导果法. 已知条件 2.分析法 证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立 的_________,直至所需条件为_____________________ _________(定义、公理或已证明的定理、性质等),从 而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这 是一种_________的思考和证明方法. 要证的结论 充分条件 已知条件或一个明显成 立的事实 执果索因 【即时小测】 1.关于综合法和分析法说法错误的是 (  ) A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B.综合法又叫顺推证法或由因导果法 C.分析法又叫逆推证法或执果索因法 D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 【解析】选D.根据综合法的定义可得,综合法是执因导 果法,是顺推法;根据分析法的定义得,分析法是执果索 因法,是逆推证法. 2.下列对命题“函数f(x)=x+ 是奇函数”的证明不 是综合法的是 (  ) A.∀x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+ =-f(x), 所以f(x)是奇函数 B.∀x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x+(-x)+ 所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数 C.∀x∈R且x≠0,因为f(x)≠0,所以 所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数 D.取x=-1,f(-1)=-1+ =-2,又f(1)=1+ =2,f(-1) =-f(1),所以f(x)是奇函数 【解析】选D.A,B,C都是从已知条件出发,利用奇函数 定义,得出结论的,都是综合法;D不是综合法证明. 3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证 (  ) A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1- ≤0 C. -1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2) =-(a2-1)(b2-1), 故要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证(a2-1)(b2-1)≥0. 【知识探究】 探究点 综合法与分析法 1.综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的? 提示:综合法:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B (已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论). 分析法:B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A (结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知). 2.如何理解分析法寻找的是充分条件? 提示:用分析法证明,其叙述格式是:要证明A,只需证明 B.即说明只要有B成立,就一定有A成立.因此分析法是“ 执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件.分析法体 现了数学中“正难则反”的原则,也是思维中的逆向思维. 逆求(不是逆推)结论成立的充分条件. 【归纳总结】 1.综合法和分析法的比较 (1)相同点:都是直接证明. (2)不同点:综合法:由因导果,形式简洁,易于表达; 分析法:执果索因,利于思考,易于探索. 2.证明不等式的通常做法 常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程. 类型一 用综合法证明不等式 【典例】(2016·大连高二检测)已知a,b,c均为正实 数,且 (1)证明: (2)求证: 【解题探究】要证明该题,根据题目的形式,你联想到 利用哪个公式解决? 提示:根据题目给出的形式,可根据基本不等式求证. 【证明】(1)由a,b,c均为正实数,且 可得 相加可得 即有 当且仅当a=b=c= 取得等号. 故原不等式成立. (2)由a,b,c均为正实数,且 可得 相加可得 即有原不等式成立. 【方法技巧】综合法证明不等式的策略 (1)综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果 联系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右 两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知 不等式,这是证明的关键. (2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下 几个:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有 a2+b2≥2ab, ≥ab,a2+b2≥ (a+b)2;③若a,b 为正实数,则 特别 ≥2;④a2+b2+c2≥ ab+bc+ca. (3)在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性 质,如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在运用 这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件. 【变式训练】(2015·绥化高二检测)已知a,b都是正数, 且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 【证明】因为a≠b,所以a-b≠0,所以a2-2ab+b2>0, 所以a2-ab+b2>ab. 而a,b均为正数,所以a+b>0, 所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b), 所以a3+b3>a2b+ab2成立. 【补偿训练】已知a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1, 求证: 【证明】因为a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1, 所以 所以 类型二 用分析法证明不等式 【典例】1.(2016·聊城高二检测)已知a,b,m都是 正数,并且ab>c,且a+b+c=0,求证: (1)b2-ac>0.(2) 【解题探究】1.典例1用分析法证明的关键是什么? 提示:a,b,m都是正数,要证 成立,只需证明 b(a+m)>a(b+m)成立,所以关键是证明b(a+m)>a(b+m) 成立. 2.典例2(2)中证明的关键是什么? 提示:证明的关键是对式子两端平方后,能得到显然成 立的条件. 【证明】1.a,b,m都是正数, 要证 成立,只需证b(a+m)>a(b+m)成立, 即证ba+bm>ab+am,即证bm>am,即证b>a, 而ab>c且a+b+c=0, 所以a>0,cb>c, 所以(a-b)(a-c)>0成立, 从而 成立. 【延伸探究】 1.若将典例2中条件改为“a>b>0”,求证: 【证明】要证原不等式成立, 只需证 即证 因为a>b>0,所以只需证 即 只需证 因为a>b>0,所以 成立.所以原不等式成立. 2.典例2条件改为设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证 明:ab+bc+ac≤ . 【证明】由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤ . 【方法技巧】用分析法证明不等式的思路及注意点 (1)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的 不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式, 直至找到已知不等式为止. (2)注意点:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用 好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. 【变式训练】 1.当x≥4时,证明: 【证明】欲证 只需证 即证 展开整理,得 只需证(x-1)(x-4)