高中数学（人教版选修1-1）：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1 .pptx

2.3.1 抛物线及其标准方程 第二章 § 2.3 抛物线 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线方程. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点一 抛物线的定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的 轨迹叫做 .点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 答案 距离相等 抛物线 焦点 准线 知识点二 抛物线标准方程的几种形式 答案 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____________ _______________ y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) 答案 ____________ ______________ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 思考 (1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？ 答案 焦点到准线的距离. (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗 ？ 答案 不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线 l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 求抛物线的标准方程 例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2,0)； ∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x. (2)准线为y＝－1； ∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y. 解析答案 (3)过点A(2,3)； 解 由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)， 将点A(2,3)代入，得32＝m·2或22＝n·3， ∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y. 反思与感悟 反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可 设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则 要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴 上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0). 解析答案 跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，－4)； 解 方法一 ∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0). 把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y， 得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 方法二 ∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0). 解析答案 (2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上. 解 令x＝0得y＝－5； 令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0). ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 解析答案 题型二 抛物线定义的应用 例2 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点， 又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标. 反思与感悟 解 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知， 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d， 由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求 |PA|＋d的最小值的问题. 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2. ∴点P坐标为(2,2). 反思与感悟 反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距 离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之 间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段 最短等. 解析答案 跟踪训练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的 距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为(  ) 解析 如图，由抛物线定义知|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|， 则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值， 则当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值. ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF| A 解析答案 题型三 抛物线的实际应用 例3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的 隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡 车通过的a的最小整数值. 反思与感悟 解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐 标系. 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵点B在抛物线上， ∴抛物线方程为x2＝－ay. 解得a>12.21，∵a取整数，∴a的最小整数值为13. 反思与感悟 反思与感悟 以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应 用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用 方程求点的坐标. 解析答案 跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路， 其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成， 为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道 顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐 标系(如图)，求该抛物线的方程； 解 依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 如图所示， 所以该抛物线的方程为x2＝－5y. 解析答案 (2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米 (精确到0.1米)? 解 设车辆高h米，则|DB|＝(h＋0.5)米， 故D(3.5，h－6.5)， 代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05米， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米. 解析答案 返回解后反思 例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上的一 点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值及抛物线的标准方程. 思想方法 分类讨论思想的应用 解析答案解后反思 分析 由于抛物线的开口方向不确定， 因而应注意对抛物线的标准方程形式进行分类讨论， 点A(m，－3)在x轴下方， 从而抛物线的开口可以分向下、向左、向右三种情况， 而焦点在x轴上的情况可以设统一形式y2＝2ax(a≠0， 当a＞0时，开口向右， 当a＜0时，开口向左). 对于a的求法可以利用定义法，也可以解方程组. 解析答案解后反思 解 因为点(m，－3)在x轴下方， 所以抛物线的开口方向可以向下、向左或向右. 当抛物线的开口向下时，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)， 所以抛物线的标准方程为x2＝－8y. 当抛物线的开口方向向左或向右时，设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)， 解后反思 由于抛物线的标准方程有四种形式，当焦点的位置不确定时，往往要 分类讨论. 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 由此可知准线方程为y＝2. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的 弦长为(  ) A.8 B.16 C.32 D.61 解析 由y2＝8x得焦点坐标为(2,0)， 由此直线方程为y＝x－2， B 设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1＋x2＝12， ∴弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 1 2 3 4 5 3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线 ＝1上， 则抛物线的方程为(  ) A.y2＝8x B.y2＝4x C.y2＝2x D.y2＝±8x 解析答案 即为(－2,0)或(2,0)， 所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x. D 解析答案 1 2 3 4 5 4.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动 点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  ) 解析 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线， 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点. 由图可知，距离和的最小值， A 解析答案 1 2 3 4 5 ∴p＝4. 4 课堂小结 返回 1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上. 2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标 准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时， 应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点 在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物 线标准方程可设为x2＝2my (m≠0).