高中数学（人教版选修1-1）：第3章 导数及其应用3.1.1~3.1.2 .pptx

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 第三章 § 3.1  变化率与导数 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点一 函数的变化率   定义 实例 平均 变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为 ，简记作： ①平均速度； ②曲线割线的斜率 瞬时 变化率 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在 Δx→0时的极限，即 ①瞬时速度：物体在某一 时刻的速度； ②切线斜率 瞬时变化率 f′(x0)或y′|  答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 平均变化率 例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1； ③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx， 解析答案 (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上 的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 当Δx越来越小时， 函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大， 并接近于－3.3. 反思与感悟 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. 解析答案 跟踪训练1 求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率， 并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值. 解 函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 解析答案 题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s. 反思与感悟 反思与感悟 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤 如下： (1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt) －s(t0)； 解析答案 跟踪训练2 一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间 单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1 ＝4aΔt＋a(Δt)2， 解析答案 题型三 函数在某点处的导数 例3 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数. 解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1) ＝3(Δx)2＋4Δx， 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数. 而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx， 解析答案 返回 例4 一辆汽车按s＝3t2＋1做直线运动，求这辆车在t＝3 s时的瞬时速度. (位移单位：m，时间单位：s) 一题多解 瞬时速度的求解 点评 解析答案 分析 本题主要考查瞬时速度的求法， 既可以利用逼近思想，由平均速度通过逼近得到瞬时速度； 也可以利用极限思想，由平均速度通过取极限得到瞬时速度. 解 方法一 当Δt＜0时，在[3＋Δt,3]这一段时间内， ＝3Δt＋18. …… 点评 当Δt＞0时，在[3,3＋Δt]这一段时间内， ＝3Δt＋18. ∴这辆车在t＝3 s时的瞬时速度为18 m/s. 解析答案点评 方法二 设这辆车从3 s到(3＋Δt)s这一段时间内位移的增量为 Δs＝3(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt， ∴这辆车在t＝3 s时的瞬时速度为18 m/s. 点评 返回 点 评 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均 速度是(  ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 B 1 2 3 4 5 B 答案 1 2 3 4 5 3.若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(  ) A.6 B.18 C.54 D.81 解析答案 B 解析答案 1 2 3 4 5 4.若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝____时的瞬时速度为1. 解析答案 1 2 3 4 5 课堂小结 返回