高中数学（人教版选修1-1）：第3章 导数及其应用3.1.3 .pptx

3.1.3 导数的几何意义 第三章 § 3.1 变化率与导数 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系. 2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义. 3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点一 导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处 的切线的 .也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为 . 知识点二 函数的导函数 当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称 f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′， 斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 已知过曲线上一点求切线方程 例1 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值. 设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)， 解 ∵y＝x3＋3ax. 解析答案反思与感悟 反思与感悟 解析答案 即x＋4y－4＝0. 解析答案 题型二 求过曲线外一点的切线方程 例2  已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程. 由于点P(3,9)不在曲线上. 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0， 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0). 解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. 反思与感悟 反思与感悟 若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据 导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 解析答案 解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)， 再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1， 所求直线方程为x＋y－2＝0. 解析答案 题型三 求切点坐标 例3 在曲线y＝x2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角. 反思与感悟 设P(x0，y0)是满足条件的点. (1)因为切线与直线y＝4x－5平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4， 即P(2,4)是满足条件的点. (2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 解析答案反思与感悟 (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1，即2x0＝－1， 反思与感悟 反思与感悟 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些 信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意 解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行 或垂直等. 解析答案 跟踪训练3 已知抛物线y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? 解 设点的坐标为(x0，y0)， 即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3). (2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9). ∴斜率为4， ∴斜率为8， 题型归纳 计算切线与坐标轴围成的图形的面积 求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类： (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要 求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算. (2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的图形的面积. 解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标. (3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为： ①求两曲线的交点坐标； ②求交点处两条切线的切线方程； ③求两切线与坐标轴的交点坐标； ④依据数形结合的思想计算图形的面积. 解析答案 返回 解析答案 即两曲线的交点坐标为(1,1). 返回 如图所示，两切线分别与y轴交于点(0,2)和(0，－1)， 同理，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线的斜率为 故曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y＝2x－1. 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(   ) A.4 B.16 C.8 D.2 即斜率k＝8. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(   ) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1 解析 由题意，知k＝y′|x＝0 又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A. A 1 2 3 4 5 解析答案 ∴y′|x＝1＝1. B 解析答案 1 2 3 4 5 4.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为 ________. 令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30). (3,30) 解析答案 1 2 3 4 5 5.曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为____________. 解析 Δy＝2(Δx－1)2＋1－2×(－1)2－1 ＝2(Δx)2－4Δx， 由导数几何意义知，曲线y＝2x2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4 ， 切线方程为y＝－4x－1，即4x＋y＋1＝0. 4x＋y＋1＝0 课堂小结 返回 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数， 二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个 函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲 线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切 线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.