人教版高中数学选修4-5课件：4.2用数学归纳法证明不等式举例 .ppt

二 用数学归纳法证明不等式举例 【自主预习】 贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,则有 ___________. (1+x)n>1+nx 【即时小测】 1.用数学归纳法证明不等式 成立,起始值至少应取为 (  ) A.7     B.8     C.9     D.10 【解析】选B.左边的和为 =2-21-n,当n=8时, 和为2-2-7> 2.用数学归纳法证明: (n≥2,n∈N*)时第一步需要证明 (  ) 【解析】选C.用数学归纳法证明 (n≥2,n∈N*), 第一步应验证不等式为: 【知识探究】 探究点 贝努利不等式 1.在应用贝努利不等式时应注意什么? 提示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x>-1,且 x≠0,n是大于1的自然数. 2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应 选什么? 提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2. 【归纳总结】 1.贝努利不等式成立的两个条件 一是x的范围是x>-1且x≠0,x∈R. 二是n为大于1的自然数. 2.贝努利不等式的推广 当指数n推广到任意实数α时,x>-1时, ①若062=36. 故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2, 下面用数学归纳法加以证明. (1)当n=5时,2n>n2显然成立. (2)假设n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立, 即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时, 2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2- 2>(k+1)2(因为(k-1)2>2). 由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立. 综上所述,当n=1或n≥5时,f( )> ; 当n=2或n=4时,f( )= ; 当n=3时,f( )< . 【方法技巧】利用数学归纳法解决比较大小问题的方 法 利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归 纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学 归纳法证明结论成立. 【变式训练】1.设f(x)是定义在正整数集上的函数, 且f(x)满足:当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1) ≥(k+1)2成立.那么下列命题总成立的是 (  ) A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)42, 故可推得k≥4时,f(k)≥k2,故只有D正确. 2.(2016·淮南高二检测)已知函数f(x)= (其中e 为自然对数的底数).证明:当x>0时,对任意正整数n都 有f 0时,f(x)= , 所以f =x2e-x 考虑到:x>0时,不等式f 0, 所以g(x)在(0,+∞)上是增函数, 故g(x)>g(0)=1>0, 即ex>x(x>0), 所以,当n=1时,不等式(*)成立. (2)假设n=k(k∈N+)时,不等式(*)成立, 即xk0), 有h′(x)=(k+1)!·ex-(k+1)xk =(k+1)(k!·ex-xk)>0, 故h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0)为增函数, 所以h(x)>h(0)=(k+1)!>0, 即xk+11,n∈N+),求证: (n≥2,n∈N+). 【解题探究】本例能否先求Sn,再证明不等式? 提示:不能.若先求Sn再证明会比较困难. 【证明】(1)当n=2时,S4= 即当n=2时命题成立. (2)假设n=k(k≥2,n∈N+)时命题成立, 即 当n=k+1时, 故当n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对n∈N+,n≥2, 都成立. 【延伸探究】 1.将本例中所要证明的不等式改为: (n≥2,n∈N+),如何证明? 【证明】(1)当n=2时,左边= 因为 所以左边>右边,原不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立, 即 则当n=k+1时,左边= 所以,当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)和(2)可知,对n≥2,且n∈N+,不等式都成立. 2.若在本例中,条件变为“设f(n)= (n∈N+),由f(1)=1> ,f(3)>1,f(7)> , f(15)>2,…”.试问:f(2n-1)与 大小关系如何? 试猜想并加以证明. 【解析】数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数 列 ,1, ,2,…通项公式为an= , 所以猜想:f(2n-1)> . 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,f(21-1)=f(1)=1> ,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即f(2k-1)> , 则f(2k+1-1)=f(2k-1)+ 所以当n=k+1时,不等式也成立. 据(1),(2)知对任何n∈N+原不等式均成立. 【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明 等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在 证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k 时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简 单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之 一. (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系 在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法 等,才能完成证明过程. 【变式训练】1.已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*), 经计算得:f(4)>2,f(8)> f(16)>3,f(32)> … 观察上述结论,可归纳出一般结论为_________. 【解析】将已知计算结果变形为 归纳结论为f(2n)> 答案:f(2n)> 2.证明: (n∈N+,n≥2). 【证明】(1)当n=2时,左边=1+ ,右边= 2- ,由于 ,故不等式成立. (2)假设n=k(k∈N+,k≥2)时命题成立,即 则当n=k+1时, 即当n=k+1时,命题成立. 由(1),(2)知,原不等式对一切n∈N+,n≥2都成立. 【补偿训练】数列{an}中,a1=1,an+1=1+ 求证: 当n≥2且n∈N+时, 【证明】(1)当n=2时,a2=1+1=2,且 不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时,有 则当n=k+1时,ak+1= (分析法证明)要证 只需证ak< 即ak< (由假设可知成立), 所以 由(1)(2)知,当n≥2,且n∈N+时, 成立. 类型三 利用数学归纳法证明数列不等式 【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足 a1= ,an+2SnSn-1=0(n≥2). (1)判断 是否为等差数列,并证明你的结论. (2)证明 (n≥1且n∈N+). 【解题探究】本例中an与Sn的关系式是什么? 提示:当n≥2时,an=Sn-Sn-1. 【解析】(1) 是等差数列,证明如下: S1=a1= ,所以 =2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1. 所以 =2.故 是以2为首项,2为公差的 等差数列. (2)①当n=1时, ,不等式成立. ②假设n=k(k≥1)时,不等式成立, 即 成立, 则当n=k+1时, 即当n=k+1时,不等式成立. 由①,②可知对任意n∈N+不等式都成立. 【延伸探究】本例中若将“an+2SnSn-1=0(n≥2)”改为 “an+1= (n∈N+)”,那么数列{a2n}的单调性怎样? 证明你的结论. 【解析】由a1= ,an+1= ,得a2= ,a4= ,a6= . 由a2>a4>a6,猜想:数列{a2n}是递减数列. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,已证命题成立. (2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即a2k>a2k+2, 易知an>0,那么: 即a2(k+1)>a2(k+1)+2 也就是说,当n=k+1时,命题也成立. 综上(1)(2)可知,命题成立. 【方法技巧】求解数学归纳法与数列的综合问题的策 略 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等 比数列的基础知识,这是解决这类问题的基础. (2)这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关, 有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几 项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数 学归纳法证明. 【变式训练】1.(2014·赣榆县校级期末)已知f(n)= (n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)> 时,f(2k+1)-f(2k)等于_________. 【解析】因为假设n=k时,f(2k)= 当n=k+1时,f(2k+1)= 所以f(2k+1)-f(2k)= 答案: 2.已知数列 …,Sn为该 数列的前n项和,计算得 观察上述结果,推测出Sn(n∈N+),并用数学归纳法加 以证明. 【解析】推测Sn= (n∈N+). 用数学归纳法证明如下: (1)当n=1时,S1= ,等式成立; (2)假设当n=k时等式成立,即Sk= , 那么当n=k+1时,Sk+1=Sk+ 也就是说,当n=k+1时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知一切n∈N+,等式均成立. 自我纠错 用数学归纳法证明不等式 【典例】用数学归纳法证明: (其中n∈N*). 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是证明过程中从n=k到n=k+1的证 明错误.正确解答过程如下: 【证明】(1)当n=1时,1