人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第二课 证明不等式的基本方法 （共39张PPT） .ppt

第二课 证明不等式的基本方法 【网络体系】 【核心速填】 1.比较法 (1)作差比较法的依据: 若a,b∈R,则______⇔a>b;a-b=0⇔a=b;______⇔a0,b>0,则_____⇔a>b; =1⇔a=b;_____⇔a0 a-b0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0. 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立. 【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤 (1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件. (2)一般步骤: ①作差; ②恒等变形; ③判断结果的符号; ④下结论. 其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的 目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是 多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方, 可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形. 【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实 数,n是正整数. 求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1). 【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1) =an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1 =a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an). 当a>b>0时,bn-an0,此时(a-b)(bn-an)a>0时,bn-an>0,a-b0,1-cosα>0, 又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α- ≤0, 所以2sin2α≤ . 类型二 综合法证明不等式 【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,试证明:b>c. 【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab. 又a2+c2≥2ac,且a>0,所以2ab≥2ac,所以b≥c. 若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b. 从而a=b=c,这与bc>a2矛盾.从而b>c. 【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思 考方向 (1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论. (2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知 或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具 备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用 时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当 ……时,取等号”的理由要理解掌握. (3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”, 即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导 果),最后推导出所要证明的不等式成立. 【变式训练】1.(2016·昆明高二检测)已知a,b是不相 等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2. 【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2 及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从而用综合法 可证明. 【证明】因为a,b是正实数, 所以a2b+a+b2≥3 =3ab>0, (当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立); 同理:ab2+a2+b≥3 =3ab>0, (当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立); 所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2, (当且仅当a=b=1时,等号成立); 因为a≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2. 2.若a,b,c都是正数,能确定 与 的大小吗? 【解析】能确定,因为a,b,c都是正数, +(b+c)≥4a, +(a+c)≥4b, +(a+b)≥4c, 所以 ≥2(a+b+c), 所以 类型三 分析法证明不等式 【典例3】设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证: logac+logbc≥4lgc. 【证明】由于a>1,b>1,故要证明logac+logbc≥4lgc, 只要证明 ≥4lgc. 又c>1,故lgc>0,所以只要证 ≥4即 ≥4, 因ab=10,故lga+lgb=1,只要证明 ≥4.(*) 由a>1,b>1,故lga>0,lgb>0, 所以0